Números Complexos

z = a + b.i

|a + b.i + 10.i| =< 5

|a + (b + 10).i| =< 5

a² + (b + 10)² =< 5²

a² + b² + 20.b + 75 =< 0

tgx = (b + 10)/a ---> menor argumento: x = 0º ---> b = -10 ---> a = maior possível

a² + (-10)² + 20.(-10) + 75 =< 0 ---> a² =< 25 ---> a = 5

z = 5 - 10.i ---> |z|² = 5² + (-10)² ---> |z|² = 125 ---> z = 5 raiz 5

Eu fiz a solução geometrica:
|z+10i|≤5 é uma círculo de raio 5 e centro (0, -10) no plano Argand-Gauss.



Traçando uma reta do ponto (0,-10) a z e usando um pouco de geometria:



Pitágoras: 10²=5²+x² ---> x= raiz de 75 ---> x=5*(raiz de 3). Item E. Não sei se tá certo. Qual a resposta?

Olá.

|z+10i| ≤ 5 .:. |a + i*(b+10)| ≤ 5 .:. a² + (b+10)² ≤ 5²

Circunferência de centro C(0;-10) e raio 5.

O argumento mínimo ocorre quando o vetor representante do complexo é tangente a circunferência. Temos então:



Por Pitágoras:

(-10)² = |z|² + 5² .:. |z|² = 75 .:. |z| = 5√3

Existe algum erro na sua resolução, Élcio.

Att.,
Pedro

Na minha solução eu cometi erros bestas kkkk nos desenhos, mas o raciocínio está correto. O desenho do PedroCunha também possui um erro por que ele considerou o vetor CB como complexo de menor argumento, e na verdade este é o de maior argumento. A resposta no entanto é a mesma. Aqui está o desenho mais correto:



Perceba que os vetores vermelho e azul possuem mesmo módulo, mas o vetor desejado é o azul. Em uma prova aberta, seria ideal fazer este desenho. De qualquer maneira a resposta é 5*(raiz de 3), utilizando o raciocinio que eu e o Pedro propusemos nas primeiras mensagens. Desculpe o erro na primeira figura que eu coloquei.

É verdade. Perdoe o erro.