Frações Algébricas

por William Lima Ter 22 Abr 2014, 20:57

Se x e y são números reais tais que x² + y²/x² - y² + x² - y²/x² + y² = k. O valor de x^8 + y^8/x^8 - y^8 + x^8 - y^8/x^8 + y^8 é igual a:

A)k^4 + 24k² + 16/4k³ + 16k
B)k^4 - 24k² - 16/4k³-16k
C)k^4 + 24k² - 16/4k³ - 16k
D)k^4 + 24k² - 16/4k³ + 16k
E)k^4 - 24k² + 16/4k³ + 16k

GAB: A

por **fantecele** Qua 30 Ago 2017, 12:35

$\\\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=k\\\\2.\left ( \frac{x^4+y^4}{x^4-y^4} \right )=k\\\\x^4=y^4.\left ( \frac{k+2}{k-2} \right )\,\,\,(I)$

$\\\frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}+\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}=z\\\\2.\left ( \frac{x^{16}+y^{16}}{x^{16}-y^{16}} \right )=z\\\\\text{Substituindo o valor de (I) aqui:}\\2.\left ( \frac{(y^4.\left ( \frac{k+2}{k-2} \right ))^4+y^{16}}{(y^4.\left ( \frac{k+2}{k-2} \right ))^4-y^{16}} \right )=z\\\\2.\left ( \frac{(\left ( \frac{k+2}{k-2} \right ))^4+1}{(\left ( \frac{k+2}{k-2} \right ))^4-1} \right )=z$

Desenvolvendo a expressão acima iremos encontrar:

$z=\frac{k^4+24k^2+16}{4k^3+16k}$

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