Princípio da Indução Finita

2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)=2^(n)-1,∀n∈ ℕ*

Por indução, para n = 1 : 2^0 = 2^(1) - 1 (ok)

Supondo válido para n:
2^0 + 2^1 + 2² + ... + 2^(n-1) = 2^(n) - 1 (i)

n--> n+1
2^0 + 2^1 + 2² +... + 2^(n-1) + 2^(n) = 2^(n+1) - 1 (tese)

somando 2^n em (i):
2^0 + 2^1 + ... + 2^(n-1) + 2^n = 2^(n) + 2^(n) - 1
2^0 + 2^1 + ... + 2^(n-1) + 2^n = 2.(2^n) - 1
2^0 + 2^1 + ... + 2^(n-1) + 2^n = 2^(n+1) - 1 , c.q.d

Números complexos, ainda não cheguei nessa parte, por isso não consegui entender amigo.

Shikamaru escreveu:Números complexos, ainda não cheguei nessa parte, por isso não consegui entender amigo.

Números complexos     ?  Se o que te causou dúvida foi o  '(i)' , ele só representa equação 1..

kkkkkkk, confundi, mas de qualquer forma não consegui compreender. -.-.

poderia fazer o favor de explicar de uma forma "mais simples", não tão teórica, mastigando realmente o conteúdo, pois não consegui entender mesmo.

Shikamaru escreveu:kkkkkkk, confundi, mas de qualquer forma não consegui compreender. -.-.

poderia fazer o favor de explicar de uma forma "mais simples", não tão teórica, mastigando realmente o conteúdo, pois não consegui entender mesmo.

mas qual parte da solução vc não entendeu? Diga onde vc travou para que eu possa explicar melhor..

Bem,aqui Por indução, para n = 1 : 2^0 = 2^(1) - 1 (ok)

você usou indução para n=1 provando a igualdade

Supondo válido para n:
2^0 + 2^1 + 2² + ... + 2^(n-1) = 2^(n) - 1 (i)

essa parte, apenas representa a equação

n--> n+1 creio que seja por resultado da soma do resultado da primeira indução com n

a partir daí não consegui compreender nada.

Shikamaru escreveu:Bem,aqui Por indução, para n = 1 : 2^0 = 2^(1) - 1 (ok)

você usou indução para n=1 provando a igualdade

Supondo válido para n:
2^0 + 2^1 + 2² + ... + 2^(n-1) = 2^(n) - 1 (i)

essa parte, apenas representa a equação

n--> n+1 creio que seja por resultado da soma do resultado da primeira indução com n

a partir daí não consegui compreender nada.

primeiro vc supõe que a equação dada é válida ( hipótese de indução) , então para completar a indução vc deve mostrar que vale para n+1 (tese).
veja antes mais alguns valores de n :
para n = 2:
2^0 + 2^1 = 2² - 1  (ok)
para n= 3 :
2^0 +2^ 1 + 2² = 2³ - 1 (ok)

agora trocamos n por n+1 que é o que queremos concluir, assim aparece mais a parcela 2^n na soma:
2^0 + 2^1 + 2² +... + 2^(n-1) + 2^(n) = 2^(n+1) - 1

para chegar na equação acima, devemos somar 2^n na equação original :
2^0 +2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)=2^(n) -1 , somando 2^n dos dois lados:
2^0 + 2^1 + 2² +... + 2^(n-1) + 2^(n)  = 2^n + 2^n -1
agora para concluir só falta verificar se o lado direito dá 2^(n+1) -1 como na tese, e é o
que ocorre:
2^n + 2^n  - 1 = 2.2^n - 1 = 2^(n+1) - 1

Vamos ver se entendi. "primeiro vc supõe que a equação dada é válida ( hipótese de indução) , então para completar a indução vc deve mostrar que vale para n+1 (tese)."

Você primeiro mostra que a equação é válida, ou seja, que a igualdade é verdadeira, depois você encontra uma média, repetição (me fugiu a palavra agora), tipo, você nota que sempre  para que 2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1) seja =2^(n)-1  tem-se que adicionar um n a mais para cada n∈ ℕ*. Visto isso temos que n⇒n+1, n no caso é
2^(n), ou seja, para termos n+1 teremos que adicionar 2^(n) em ambos os lados da equação. É isso?

Shikamaru escreveu:Vamos ver se entendi. "primeiro vc supõe que a equação dada é válida ( hipótese de indução) , então para completar a indução vc deve mostrar que vale para n+1 (tese)."

Você primeiro mostra que a equação é válida, ou seja, que a igualdade é verdadeira, depois você encontra uma média, repetição (me fugiu a palavra agora), tipo, você nota que sempre  para que 2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1) seja =2^(n)-1  tem-se que adicionar um n a mais para cada n∈ ℕ*. Visto isso temos que n⇒n+1, n no caso é
2^(n), ou seja, para termos n+1 teremos que adicionar 2^(n) em ambos os lados da equação. É isso?

Leia novamente com atenção, pois o que vc perguntou está explicado.. primeiro vc apenas testa para o primeiro valor, depois supõe que a equação original é válida, e no final deve somar 2^n na equação original e fazer as contas do lado direito para chegar na tese..