equação exponencial

por L.Lawliet 10/4/2014, 10:34 am

A soma de todos os valores de "n" que verificam a equação:

equação exponencial 32c85c1c0d717f6d7539b8199a7cf36d

https://i.gyazo.com/32c85c1c0d717f6d7539b8199a7cf36d.png

A resposta é 5

Existe alguma forma, por fatoração talvez, que nao precise fazer grandes distributivas? por que da forma que eu fiz precisava e eu acho que nao foi essa a ideia do exercicio

por PedroCunha 10/4/2014, 11:16 am

Olá.

Um pouco de conta tem que ser feita:

$\frac{\sqrt[n-1]{b^{n-2}}}{\sqrt[n-2]{b^{2n-5}}} = \frac{\sqrt[n+3]{b^{n+1}}}{\sqrt[n+1]{b^{2n}}} \therefore \frac{b^{\frac{n-2}{n-1}}}{b^{\frac{2n-5}{n-2}}} = \frac{b^{\frac{n+1}{n+3}}}{b^{\frac{2n}{n+1}}} \therefore \\\\ b^{\frac{n-2}{n-1}} \cdot b^{\frac{2n}{n+1}} = b^{\frac{2n-5}{n-2}} \cdot b^{\frac{n+1}{n+3}} \therefore b^{\frac{n-2}{n-1} + \frac{2n}{n+1}} = b^{\frac{2n-5}{n-2} + \frac{n+1}{n+3}} \therefore \\\\ \rightarrow \frac{(n+1) \cdot (n-2) + (n-1) \cdot 2n}{(n-1) \cdot (n+1)} = \frac{(n+3) \cdot (2n-5) + (n-2) \cdot (n+1)}{(n-2) \cdot (n+3)} \therefore \\\\ \frac{n^2 - 2n + n - 2 + 2n^2 - 2n}{n^2 - 1} = \frac{2n^2 - 5n + 6n - 15 + n^2 + n - 2n - 2}{n^2+n - 6} \therefore \\\\ \frac{3n^2-3n-2}{n^2-1} = \frac{3n^2-17}{n^2+n-6} \therefore (3n^2-3n-2) \cdot (n^2+n-6) - (3n^2-17) \cdot (n^2-1) = 0 \therefore \\\\ 3n^4 + 3n^3 - 18n^2 - 3n^3 -3n^2+18n - 2n^2-2n+12 - 3n^4 + 3n^2 + 17n^2 - 17 = 0 \therefore \\\\ -3n^2 + 16n - 5 =0 \Leftrightarrow n = \frac{1}{3} \text{ ou } n = 5$

Somando os valores de n, chegamos em 5+1/3 = (16/3) e não 5.

O gabarito está errado. Ou ele quer apenas os valores naturais de n.

Att.,
Pedro