Digito da unidade

por igormf Qui 20 Mar 2014, 16:57

Qual o dígito das unidades de 7^7^7^7...^7^7 onde há 2002 setes?

Resp.: 3

por PedroCunha Qui 20 Mar 2014, 17:18

Olá.

Observe o padrão:

7¹ = 7
7² = 49
7³ = 343
7^4 = 2401
7^5 = 16807
7^6 = 117649
7^7 = 823543
7^8 = 5764801

O dígito das unidades se repete no seguinte padrão: {7,9,3,1} ; {7,9,3,1} ...

Logo, podemos afirma que:

Dígito das unidades de 7^k = Dígito das unidades de 7^{resto da divisão de k por 4}

Veja que o número dado é: (7)^{2001*7} .:. (7)^{14007}

Aplicando a propriedade que observamos: 14007 = 3501*4 + 3

Logo:

D.U. 7^{14007} = D.U. 7³ = 3

Att.,
Pedro

por igormf Qui 20 Mar 2014, 18:36

Por que vc multiplicou 2001 por 7? Não seria 7^7^2000?

por PedroCunha Qui 20 Mar 2014, 19:21

Então. Não consegui entender direito. Interpretei como:

{[(7)^7]^7}}^7^.. entende?

Agora entendi. Temos então:

7^7^7... (2002 '7) .:. 7^7^(2001)

Mas veja que

7² ≡ -1 (mod 10)

Podemos reescrever 7^(2001) como 7*7^(2000) = 7^[(7²]^{1000} = 7^{(-1)}^{1000} = 7¹

Logo, a expressão fica 7^7. Como 7 ≡ 3 (mod 4), o dígito das unidades é 3.

Penso que agora esteja correto.

Att.,
Pedro

*Lembre-se de que tudo que eu reescrevi é tratando de restos e congruência. 7^(2000) ≠ -1

por PedroCunha Qui 20 Mar 2014, 19:23

Se fizermos com 7^7^(2000) o dígito das unidades é 7, o que podemos confirmar fazendo:

7² ≡-1 (mod 10) --> 7^{2000} = (7²)^(1000) = 1 --> A expressão fica 7¹ = 7

Creio então que o 2002 se refira ao expoente.