(Colégio Naval -92) Bases de numeração

Olá. 

Um livro de 200 páginas vai se reenumerado no sistema de numeração de base 8. O número de base 10 de algarismos que serão utilizados é: 

a)520 
b)525
c)530 
d)535
e)540 
Gabarito: c

Sei que 200 na base 8 é igual a 310, porém como funcionará para a contagem dos algarismos daí em diante? Obg.

200 base 10 = 310 base 8

Vou fazer a contagem na própria base 8.

1 até 7 --> 7 algarismos
10 até 77 --> 70 x 2 = 160 algarismos
100 até 310 --> 211 x 3 = 633 algarismos

Total --> 1022 algarismos na base 8, que, convertendo para a base 10, é 530 algarismos.

Só lembrando que fiz todos os cálculos na própria base 8

Espero ter ajudado, qualquer coisa que não entendeu pode perguntar, abraços!

Olá Igor, desculpe a demora, poderia explicar melhor o processo de contagem dos algarismos na base 8? Grato!

Esse processo de contagem na própria base 8, ele realmente é meio complicado de entender, porque todas as contas, como soma, subtração e multiplicação é feita na própria base.

Propriedade
- De um número natural W até um outro número natural K existem, sucessivamente, (K - W) + 1 números.

Dessa forma, vamos separar todos os números formados por apenas 1 algarismo, todos formados por 2 algarismos e todos formado por 3 algarismos. Porque fazer isso ? Porque usando a propriedade a cima, vamos achar quantos números há entre dois números, e multiplicar por quantos algarismos ele tem. O problema está que temos que fazer isso na base 8.

Vamos fazer algumas análises antes de resolver de fato o problema.

Na base 8, o 8 e 9 é como se não existisse, ou seja, de 1 algarismo, vamos até apenas 7 números, que são 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 (a partir desses que se formam todos os outros nessa base)

Vejamos agora os números formados por 2 algarismos. Note que o primeiro número é o 10 e, o último é o 77, vou dar um breve exemplo: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 20; 21; ... 76; 77. Para saber quantos números existem de 10 até 77, vamos aplicar a propriedade: [(77 - 10) + 1] Lembrando que a conta deve ser feita na base 8

   77
-  10
  ----
   67
+   1
   ---
   70

67 + 1 = 70 base 8, porque, 7 + 1 seria 8 na base 10, não seria ? Mas como não existe o 8 aqui, você coloca o 0 e "vai 1". Portanto chegamos que de 2 algarismos tem 70 números na base 8, mas queremos é o número de algarismos, portanto, basta multiplicar por 2

  70
x  2
 ----
 160  algarismos de números formados por 2 algarismos na base 8

Mesmo caso da adição. 7 x 2 seria 14 na base 10, mas na base 8 os algarismos 8 o 8 e 9 não existem, portanto, dá 6 e vai um, ficando 16

Ou você pode pensar dessa forma. 7 x 2 = 7 + 7. Desmembrando temos: 7 + 7 = 7 + 1 + 6

7 + 1 = 10, porque, na base 10 o resultado seria 8, mas o algarismo 8 na base 8 não existe, então da 0 e vai 1, ficando 10. Agora soma 6 a esse resultado: 10 + 6 = 16

Agora, vamos analisar os números formados por 3 algarismos. O primeiro número de 3 algarismos é o 100, concorda ? E vamos apenas até o número que queremos, que é o 310. Aplicando a propriedade --> (310 - 100) + 1, facilmente chegamos que existem 211 números entre 100 a 310, agora, basta multiplicar por 3 pra encontrar o número de algarismos. 211 x 3 = 633 na base 8.

Organizando melhor vou copiar e colar o que eu postei ali em cima

1 até 7 --> 7 algarismos
10 até 77 --> 70 x 2 = 160 algarismos
100 até 310 --> 211 x 3 = 633 algarismos

Total --> 1022 algarismos na base 8, que, convertendo para a base 10, é 530 algarismos.

Talvez tenha ficado um pouco confuso por eu tentar detalhar de mais; caso algo não tenha ficado 100% claro, por favor, pergunte. Abraços