prisma triangular contendo bola

por cleicimara Sex 07 Mar 2014, 00:35

A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma.

prisma triangular contendo bola 2009-disc-mat-03

Admitindo

determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa.
R= ± 38%

Fiz assim:

prisma triangular contendo bola 2009-disc-com-mat05

prisma triangular contendo bola 2009-disc-com-mat06

L²r √3/2..............100%
4r³...................... x%
??????????????

Daí em diante, não sei resolver...

por vzz Sex 07 Mar 2014, 13:48

Agora basta você relacionar o lado com raio. Lembre que o triângulo é equilátero e logo o centro da circunferência inscrita ao triângulo é o incentro/baricentro/circuncentro. Basta traçar a altura e lembrar que no triângulo equilátero o baricentro divide a altura em 2 partes. Do vértice até ele vale 2x e do baricentro até o lado do triângulo vale x. Lembrando que do baricentro até o lado do triângulo vale R. Logo a outra parte vale 2R. Logo a Altura do triângulo vale 3R.
Faça um pitágoras e relacione R com l. Se não conseguir eu posto a resolução.

por **Elcioschin** Sex 07 Mar 2014, 15:59

A questão independe do formato do triângulo da base do prisma; para facilidade de cálculo vamos supor que seja um triângulo equilátero de lado L

Sendo R o raio do círculo inscrito neste triângulo temos: R = L.√3/6

Área do triângulo: S = L².√3/4
Áltura do prisma: H = 2R

Volume do prisma: Vp = S.H ---> Vp = (L².√3/4).2R --->

Vp = (L².√3/4).(L.√3/3) ---> Vp = L³/4

Volume da esfera: Ve = (4/3).pi.R³ ---> Ve = (4/3).3.*(L.√3/6)³ ---> Ve = L³.√3/18

Ve/Vp = (L³.√3/18)/(L³/4) ----> Ve/Vp = 2.√3/9 ----> Ve/Vp ~= 0, 385

Ve/Vp ~= 38,5 %