ITA - Triângulos

(ITA) Num triângulo isósceles a razão entre a altura relativa à base e está é . Sobre o ângulo α oposto à base podemos afirmar que:

A)

B) 

C) 

D) 

E) não temos dados suficientes para determiná-lo.

Olá.

Seja h a altura relativa à base, b a medida da base e l um dos do triângulo. A seguinte relação é válida:

l² = h² + (b/2)²

Mas: h²/b² = (3 + 2√2)/4 .:. h² = (3+2√2)*b²/4

Substituindo:

l² = (3+2√2)b²/4 + b²/4
l² = (b² * (4+2√2))/4
4l² = b²*(4+2√2)
l = (b*√(4+2√2))/2

Seja ABC o triângulo retângulo formado pelos catetos b/2 e h e hipotenusa l.

Das relações trigonométricas, temos:

sen (a/2) = (b/2)/l .:. sen(a/2)  = b/2l .:. sen (a/2) = b/[ 2 * (b * √(4+2√2))/2] .:.
sen(a/2) = 1/√(4+2√2)

Lembrando que |sen (a/2)| = |√[(1-cosa)/2]| e elevando os dois lados ao quadrado, temos:

1/(4+2√2) = (1-cosa)/2 .:. 2 = 4 + 2√2 - 4cosa - 2√2cosa .:. -2 - 2√2 = -4cosa - 2√2cosa
1 + √2 = 2cosa + √2cosa .:. 1 + √2 = cosa *(2 + √2) .:. (1+√2)/(2+√2) = cosa .:.
cosa = [ (1+√2) * (2-√2) ] / [ (2+√2) * (2-√2) .:. cosa = (2 - √2 + 2√2 - 2)/(4-2) .:.
cosa = √2/2 --> a < pi --> a = pi/4

Boa questão.

Att.,
Pedro

Muitoo obrigadoo!! Nossa! Essa questão é complicadíssima, duvido muito que haja tempo para fazer uma dessa na prova do ITA.

Com prática, dá sim. Até porque devem ter modos mais fáceis de resolver. Por exemplo:

sen (a/2) = 1/√(4+2√2) .:. sen²(a/2) = 1/(4+2√2) .:. sen²(a/2) = (4-2√2)/8 .:.
sen²(a/2) = (2 - √2)/4 .:. sen (a/2) = √(2-√2)/2

Agora, sendo o vestibulando do ITA um aluno que faz muitos exercícios, ele com certeza já tem decorado que √(2-√2)/2 = sen (45/2) e com isso já conclui que a = 45° = pi/4.

Mas basicamente, o 'x' da questão é prática.

Abraços,
Pedro

Essa questão também pode ser feita utilizando a leis dos co-senos, a resolução é bem mais prática

Como ficaria?