fuvest 20

De cada uma das quatro pontas de um tetraedro regular de aresta 3a corta-se um tetraedro regular de aresta a.
Qual o número de vértices, arestas e faces do poliedro resultante ?
Calcule a área total da superficie formada .
obs:não consegui construir a figura .

Olá. Segue a resolução, qualquer dúvida fique à vontade para perguntar.





Att.,
Pedro

pedro, como resolveu essa questão ?
os gabaritos são:

a) 12 vértices, 8 faces e 18 arestas
b) 7a²√3

A solução da 1ª parte é gráfica

Desenhando o tetraedro de lado 3.a e cortando, 4 vértices ("bicos"), que são tetraedros de lado a, teremos no final:

1) 6 arestas de lado a constituídas pela parte central de comprimento a das arestas originais e 12 arestas de lado a, sendo 3 por cada um dos 4 bicos cortados: total = 18 arestas.
2) 12 vértices sendo 3 em cada um dos 4 bicos cortados
3) 8 faces, sendo 4 triângulos equiláteros em cada bico cortado e 4 hexágonos com lados a e 2.a alternados.

Calcule a área total do tetraedro original de lado 3.a ---> S
Calcule a área de cada face do tetraedro dos bicos, de lado a ---> s

De cada bico são retirados 3 faces e acrescentada 1 face (a face do corte), logo são diminuídas 2 faces. Logo, dos 4 bicos são diminuídas 4.2 = 8 faces de lado a.

Área total restante = S - 8.s

Mestre, consegui compreender o raciocínio, mas não consegui imaginar a representação gráfica para isso. No caso, eu desenhei o tetraedro original, mas uma figura espacial. No caso dessa questão, eu preciso desenhá-la de forma plana ?
Não entendi muito bem como resolver...eu refiz umas 5x antes de buscar resolução aqui no fórum

Não precisa planificar: vai dar um trabalhão!

Desenhe, a lápis, um tetraedro VABC, sendo ABC a base, com aresta 3.a e divida carda aresta em três partes iguais a a, por exemplo:

VM = MN = NA = a
VO = OP = PB = a
VQ = QR = RC = a
AE = EF = FB = a
BG = GH = HC = a
CI = IJ = JA = a


No vértice superior V apague as arestinhas VM, VO e VQ e trace a base MOQ do bico retirado
Temos agora um tronco de pirâmide de base maios ABC e base menor MOQ

Faça o mesmo para os vértices A, B e C, retirando mais 3 bicos com bases EJN, FGP e HIR

Um desenho do Élcio...

ah, agora entendi!
e eu que achava que aquelas questões de ângulos diedros fossem as mais difíceis...essa questão da fuvest deve ser da década de 80 ou 90, quando o nível era bem mais elevado.
muito obrigado, Mestre Élcio e Medeiros!!!

Este é o Medeiros de fato: uma imagem vale mais do que mil palavras!!!