Semelhança de Triângulos

por x10x10 Seg 10 Fev 2014, 17:57

Num retângulo ABCD,os lados AB e BC medem 20 cm e 12 cm respectivamente.Sabendo que M é o ponto médio do lado AB,calcule EF,distância do ponto E ao lado AB,sendo E a intersecção da diagonal BD com o segmento CM.

por **Matheus Vilaça** Seg 10 Fev 2014, 18:40

Cara, vou dar uma opção mais simples de resolução recorrendo a Geometria Analítica.

Considerando o enunciado, temos o seguinte caso:
Semelhança de Triângulos <a href=

Equação da reta MC:

$\small m=\frac{12-0}{20-10}=\frac{6}{5}$

$\small (y-0)=\frac{6}{5}(x-10)\: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: 6x-5y=60\, \,\, \, Eq.I$

Equação da reta BD:

$\small m'=\frac{12-0}{0-20}=-\frac{3}{5}$

$\small (y-0)=-\frac{3}{5}(x-20)\: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: 3x+5y=60\, \, \, \, Eq.II$

Achando a solução do sistema formado pelas equações Eq.I e Eq.II encontraremos o ponto E, que é a intersecção das retas MC e BD. Assim:
E(40/3 , 4)

Logo, EF será:
$\small \\d_{EF}=\sqrt{(\frac{40}{3}-\frac{40}{3})^2+(4-0)^2}\\\\ d_{EF}=4$

A distância entre E e F é 4.

Tens o gabarito?

por x10x10 Seg 10 Fev 2014, 18:47

Obrigado pela resposta,mas você poderia fazer por semelhança de triângulos? Não cheguei em geometria analítica ainda,e esse problema está no capitulo de semelhança do FME.

por **Matheus Vilaça** Seg 10 Fev 2014, 19:16

Chamando EF=Y e FB=x, temos

Os triângulo ABD e FBE são semelhantes pelo caso AAA, assim:
$\frac{12}{20}=\frac{y}{x}\: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: \frac{12}{10}=\frac{2y}{x}\, \,\, \, Eq.I$

Os triângulos MBC e MFE também são semelhantes pelo caso AAA, assim:
$\frac{12}{10}=\frac{y}{10-x}\: \: \: Eq.II$

Logo, observando as equações Eq.I e Eq.II, temos:
$\\\frac{2y}{x}=\frac{y}{10-x}\\ \\2(10-x)=x\\ \\x=\frac{20}{3}\\$

Substituindo na equação Eq.I, temos:
$\\2y=\frac{12.x}{10}=\frac{12}{10}.\frac{20}{3}\\ \\y=4\\$

Logo o valor de EF é 4.