encontrar a equação da reta perpendicular

164. Dados os pontos A(a, 0) e B(0, b), tomemos sobre a reta AB um ponto C de modo que BC = m*AB (m diferente de 0 real). Pede-se a equação da reta perpendicular a AB, a qual passa pelo ponto médio de segmento AC. 

Resposta: 2ax - 2by + [b²(1 + m) - a²(1 - m)] = 0

Postaria minhas tentativas de resolução se tivesse o mínimo de confiança de que sabia o que estava fazendo. Por favor, precisa entender essa questão antes que eu enlouqueça!  Acredito que meu maior problema foi interpretar BC = m*AB. 

Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º Edição - Gelson Iezzi - Questão 164.

Olá!

Vamos encontrar o coeficiente angular da reta AB:

m_ab = (b - 0)/(0-a) .:. m_ab = -b/a

Queremos a reta perpendicular a AB. O seu coeficiente angular será:

m_x * m_ab = - 1 .:. m_x = -1/(-b/a) .:. m_x = a/b

Seja C(x_c,y_c).

O enunciado fala que BC = m * AB

Logo:

y_c - y_b = m * (y_b - y_a)
y_c - b = m * (b - 0)
y_c = b * (1+m)

x_c - x_b = m * (x_b - x_a)
x_c - 0 = m * (-a)
x_c = -ma

Ponto médio de AC:

(a - ma)/2 ; (0 + b*(1+m) )/2
(a * (1-m) )/2 ; (b * (1+m) ) /2

Encontrando a reta x:

y - (b * (1+m) )/2 = (a/b) * (x - ( a * (1-m) )/2 ) 
2y - (b * (1+m) ) = (a/b) * (2x - a + am)
2y - (b * (1+m) ) = (2ax - a² + a²m)/b
2by - b² - b²m = 2ax - a² + a²m
2ax - 2by + b² + b²m - a² + a²m = 0
2ax - 2by + b² * (1 + m) - a² *(1-m) = 0
2ax - 2by + [b² * (1+m) - a² * (1-m) ] = 0

É isso.

Att.,
Pedro

Desenhe um sistema xOy e a reta AB
Plote um ponto C e o ponto médio M de AC

BC = m.AB ---> AC = AB - BC ---> AC = AB - m.AB ---> AC = AB.(1 - m)

AM = CM = AC/2 ----> AM = CM = AB.(1 - m)/2

Coordenadas do ponto M(xM, yM):

xM = AM.cos ---> xM = [AB.(1 - m)/2].(a/AB) ---> xM = a.(1 - m)/2

yM = AM.sen ---> yM = [AB.(1 - m)/2].(a/AB) ---> yM = b.(1 - m)/2

Equação da reta AB ----> y = (-b/a).x ----> coeficiente angular = - b/a

Reta perpendicular a AB ---> coeficiente angular = a/b

Equação desta reta, que passa por M:

y - yM = (a/b).(x - xM) ---> y - b.(1 - m)/2 = (a/b).[x - a.(1 - m)/2] ---> *2b

2by - b².(1 - m) = a.[2x - a.(1 - m)] ---> 2by - b² + mb² = 2ax - a²  + ma² --->

2ax - 2by + b².(1 - m) - a².(1 - m) = 0

Élcio, creio que este problema tenha mais de uma resposta correta.

PedroCunha escreveu:Élcio, creio que este problema tenha mais de uma resposta correta.

Negativo. O segmento AC tem apenas UM ponto médio; e por ele passa apenas UMA reta perpendicular.

É verdade, Medeiros.

Não vejo nenhum erro na resposta do Élcio, no entanto, sei que o gabarito confere, pois também tenho o livro na minha casa.

Abraços,
Pedro

*O único erro que vi, mas que não afeta em nada a resposta final é:

yM = AM.sen ---> yM = [AB.(1 - m)/2].(a/AB) ---> yM = b.(1 - m)/2


o correto seria:


yM = AM.sen ---> yM = [AB.(1 - m)/2].(b/AB) ---> yM = b.(1 - m)/2

Pedro, olhando tua resolução compreendi como encontrar as coordenadas de C, estava na minha frente o tempo todo, só não percebi haha No final a questão era mais fácil do que parecia, acho que eu que a compliquei. 
Mas afinal, houve consenso sobre a resposta correta?

O fórum e, em especial, vocês três tem me ajudado bastante! 
Obrigado pelo auxilio!  

Olá.

Creio que a resposta correta seja:

2ax - 2by + [b² * (1+m) - a² * (1-m) ] = 0, pois é a resposta que eu encontrei, que o seu gabarito diz como certa e que o meu gabarito diz como certa.


Att.,
Pedro