Triângulo

ABC é um triângulo no qual o angulo A é o dobro do angulo B; P e Q são pontos dos lados BC e AC tais que AB=AP=PQ=QC. Calcular os ângulos do triangulo.

Eu fiz o desenho, tudo direitinho, mas nao consigo bater com o gabarito, sempre que suponho o angulo C diferente de B, caio na equação que alfa = 0 .. 

a= 108, b=54 , c=18

Faça um bom desenho, usando os ângulos da resposta

A^BP = b ----> Triângulo ABP é isósceles (AB = AP) ---> A^PB = b ---> BÂC = 2b

BÂP + A^BP + A^PB = 180º ---> BÂP + b + b = 180º ---> BÂP = 180º - 2b

BÂP + PÂQ = BÂC ---> (180º - 2b) + PÂQ = 2b ---> PÂQ = 4b - 180º

Triângulo PAQ é isósceles (AP = PQ) ---> A^QP = PÂQ ---> A^QP = 4b - 180º

A^QP + P^QC = 180º ---> (4b - 180º) + P^QC = 180º ---> P^QC = 360º - 4b

PÂQ + A^QP + A^PQ = 180º ---> (4b - 180º) + (4b - 180º) + A^PQ = 180º ---> A^PQ = 540º - 8b

A^PB + A^PQ + Q^PC = 180º ---> b + (540º - 8b) + Q^PC = 180º ---> Q^PC = 7b - 360º 

Triângulo QPC é isósceles (QP = QC) ---> P^CQ = Q^PC ---> Q^CP = 7b - 360º

P^QC + Q^PC + Q^CP = 180º ---> (360º - 4b) + (7b - 360º) + (7b - 360º) = 180º ---> b = 54º

a = 2b ---> a = 108º


c = Q^CP ---> c = 7b - 360º ---> c = 7.54º - 360º ---> c = 18º

Para ajudar:

JuniorE

Obrigado pela postagem do desenho: a imagem ajuda muito!!
Só tenho uma dúvida: de onde surgiu a equação 3β + α = ∏

Surge da soma dos ângulos internos do triângulo ABC: 3β + α = ∏


Um abraço.

Perfeito!!!