determinar simetria da reta

155. Determine a simétrica da reta (r) x - 6y + 12 = 0 em relação:

a) ao eixo dos x:
b) ao eixo dos y:
c) à reta (s) x + y - 9 = 0

Respostas: 
a) x + 6y + 12 = 0 
b) x + 6y - 12 = 0
c) 6x - y - 33 = 0

Minha dúvida é apenas na letra c. 

Até onde fui: 

Fiz esse desenho desconsiderando a real posição das retas no espaço, apenas tentando manter uma coerência entre elas. 


a partir dai tentei resolver desta forma:

1º) Encontrar a intersecção das retas (r) e (s) -> R(6,3)
2º) Achar o ponto Q. Joguei o valor x=12 na reta (r) e obtive o ponto Q(12,4)
3º) Encontrei a reta (u), achei o coeficiente angular através da condição de perpendicularidade com a reta (s), depois apliquei o ponto Q em 
y - y0 = m(x - xo) 
4º) Fiz a intersecção das retas (s) e (u) achando o ponto M(17/2, 1/2). 
5º) Utilizando Xm = (Xt + Xq)/2 e Ym = (Yt + Yq)/2 encontrei o ponto T(11, -2)
6º) Tendo dois pontos da reta (t) poderia defini-la, apliquei no determinante os ponto R e T e, para minha surpresa, encontrei a reta (s). 

Revisei algumas vezes e ainda não achei a falha, não sei como T faz parte de S. O que errei?

Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º edição - Gelson Iezzi - Questão 155.

bom dia, fiz um gráfico para ajudar.
As equações no canto esquerdo indicam r, s e respostas a, b e c.

Complementando a resposta do companheiro Medeiros, segue a maneira algébrica:

Coeficientes angulares de r e s:

m_r = 1/6
m_s = -1

Ponto de encontro: P(6,3)

Ângulo formado entre as retas r e s:

tg θ = | (1/6 + 1)/(1 - 1/6*1 | .:. tg θ = | (7/6)/(5/6) | .:. tg θ = |7/5| .:. tg θ = 7/5


Coeficiente angular da reta t (simétrica):


tg θ = | (m_t + 1)/ (1 - m_t*1) | .:. 7/5 = | (m_t + 1)/(1 - m_t) | --> Dois casos:




. (m_t + 1)/(1- m_t) = 7/5 .:. 5m_t + 5 = 7 - 7m_t .:. 12m_t = 2 .:. m_t = 1/6 (i)
. (m_t + 1)/(1- m_t) = -7/5 .:. 5m_t + 5 = -7 + 7m_t .:. 12 = 2m_t .:. m_t = 6 (ii)

i não serve, ficamos com ii. Como t passa por P, temos:


y - 3 = 6 * (x - 6) .:. y -3 = 6x - 36 .:.  6x - y - 33 = 0  


É isso. 


Qualquer dúvida não hesite em perguntar.


Att.,
Pedro

Pedro Cunha eu não tô achando m_s = 1 não. Só acho m_s = -1...
Eu não entendi muito bem cara. Pode me explicar aonde errei?

Você está certo.

Corrigido em vermelho.

Valeu cara, ótima resolução! Obrigado pela ajuda.