Problema com interpretação de questão

76. Determine o ponto B da reta s de tal forma que o segmento AB intercepte a reta r no ponto c que o divide na razão 1/2. São dados: A(-1, 6), (r)3x -y = 0, e (s) x -2y + 4 = 0.

Resposta: B(8, 6)

Minha interpretação:

A reta (r) corta o segmento AB no ponto médio C, portanto, Xc = (Xa + Xb)/2 e Yc = (Ya + Yb)/2. Aplico os valores de A e com o resultado obtido, ainda me faltando Xc, Yc, Xb e Yb, jogo os valores na reta (r), já que C pertence a (r), com isso tenho uma equação. Minha segunda equação é a reta (s), com valores ao invés de x e y, agora Xb e Yb. Tenho um sistema, resolvo e deveria encontrar o resultado correto. O que estou fazendo de errado?

Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º Edição - Gelson Iezzi - Questão 76.

Seu raciocínio está certo. Você deveria ter postado sua solução, mesmo diferente do gabarito

Reta r: y = 3x ----> Reta s: x = 2.y - 4

A(-1, 6) ----> B(2.yB - 4, yB) ---> C(xC, 3.xC)

2.xC = xA  + xB ---> 2.xC = -1 + (2.yB - 4) ---> 2.xC = 2.yB - 5 ---> I

2.yC = yA + yB ---> 2.(3.xC) = 6 + yB ----> yB = 6.xC - 6 ---> II 

II em I ---> 2.xC = 2.(6.xC - 6) - 5 ---> 2.xC = 12.xC - 17 ----> xC = 17/10

II ----> yB = 6.(17/10) - 6 ---> yB = 51/5 - 30/5 ---> yB = 21/5

Deve haver algum erro no enunciado

Élcio, veja o desenho que fiz:





Talvez seja possível relacionar os pontos CBD com relações de um triângulo. O que acha?

Att.,
Pedro

Pedro

O desenho está perfeito. Por ele se vê que as coordenadas aproximadas de C são C(2, 5)
Não vejo como o triângulo pode ajudar: o ponto D não tem nada a ver com os pontos C e B

Por favor, confiram minhas contas.

Uma maneira de fazer:

C pertence à reta r, logo, é da forma C(a,3a)
B pertence à reta s, logo, é da forma B(b, (b/2) +2)

Como AC/CB = 1/2, temos:

Abscissas:

(a+1)/(b-a) = 1/2 .:. 2a + 2 = b - a .:. 3a - b = -2 (i)

Ordenadas:

(3a-6)/[( (b/2) + 2 -3a) ] = 1/2  .:. 18a - b = 28 (ii)

Resolvendo o sistema formado por i e ii, chegamos em a = 2, b = 8.

Logo, B é: (b, (b/2) + 2) .:. B(8,6)

É isso.

Att.,
Pedro

Pedro

Eu fiz de modo bem parecido só que fiz a = xB, b = yB e fiz B(2.yB - 4, yb)

Não sei onde está meu erro nas contas

Entretanto, seu desenho não corresponde à sua solução:

Pelo desenho b = yB ~= 4 e pelos seus cálculos e o gabarito b = yB = 6

É verdade. Acho que há algum erro em algum lugar, Élcio. Provavelmente na maneira como construí o desenho.

Veja que os valores encontrados por você, batem com o desenho feito por mim.

O que seria o erro?

Abraços,
Pedro

Elcioschin, meus resultados davam o mesmo que os seus, fico mais tranquilo se você também encontrou problemas com o gabarito. Obrigado aos dois pela disposição! Abraços.

Elcioschin e Danielevicz,
vocês consideraram o ponto C como sendo ponto médio do segmento AB, ou seja, razão 1:1.
O Pedro usou a razão 1:2, conforme enunciado.

AC/CB = 1/2 <----> AB = 3*AC

Medeiros, você poderia fazer o desenho que atende as condições do enunciado?

Abraços,
 Pedro