Função(fórmula geral)

Seja f uma função, definida no conjunto dos números naturais, tal que:
f(n+1)=2f(n)+3
para todo n natural.

a) Supondo f(0)=0, calcule f(1), f(2), f(3), f(4),...e descubra a "fórmula geral" de f(n).

b) Prove por indução finita a fórmula descoberta.

Eu consegui começar a primeira parte da letra "a", mas dai em diante não consegui...O que eu não consegui fazer foi achar a "fórmula geral". Não tenho o gabarito. Se terminar a letra "a" já valeu.



Dai...



Obrigado.

Olá Diogo,

já pelejei um bocado com isso e não enxerguei nada também... plotei esses valores e parecem indicar uma exponencial simétrica em relação ao eixo y e com termo independente igual a 3, sem raízes reais. Algo como



mas não consegui encontrá-la

Hum...também não consegui achar uma solução.
Essa questão é do Iezzi (vol. 1) e o ruim é que não tem gabarito.

Obrigado.

Já é a terceira vez que essa questão se repete entre os posts. Eu mesmo já postei ela, mas ainda não parei para resolvê-la

Não demonstrei; mas a demonstração perpassa pela demonstração de PG, que já foi provada, logo esta provado.

equacao: f(n+1)=2f(n) + 3 e f(0)=0

para..
n=0 => f(0+1)=2f(0)+3 => f(1)=3
n=1 => f(1+1)=2f(1)+3 => f(2)=9
n=2 => f(2+1)=2f(2)+3 => f(3)=21
n=3 => f(3+1)=2f(3)+3 => f(4)=45
n=4 => f(4+1)=2f(4)+3 => f(5)=93

observando os valores retornado pelas imagens e pondo em produto de um fator por 3..
f(1)=3 => f(1)=3*1
f(2)=9 => f(2)=3*3
f(3)=21 => f(3)=3*7
f(4)=45 => f(4)=3*15
f(5)=93 => f(5)=3*31

agora observando os segundos fatores dos produtos acima nas imagens...
comecamos com 1, depois 3, depois 7, e....

assim temos:
a diferenca entre 3 e 1 = 2
a diferenca entre 7 e 3 = 4
a diferenca entre 15 e 7 = 8
a diferenca entre 31 e 15 = 16

obrservando essas diferencas, nota-se que temos uma PG, de razao 2, e com o primeiro termo sendo igual a 1

assim a formula ja comeca a ficar evidente.. sendo 3 vezes essas diferencas...

agora se montarmos essa PG, teremos..

a1 = 1
a2 = 2
a3 = 4
a4 = 8
a5 = 16

opa.. entao a proxima observacao a ser feita eh que, com os resultados obtidos temos que,por exemplo,
f(1)=3*( a1 de nossa PG)
f(2)=3*( a soma de a1 com o a2 de nossa PG)
f(3)=3*( a soma de a1 com o a2 e a3 de nossa PG)
f(4)=3*( a soma de a1 com o a2 e a3 e a4 de nossa PG)

agora a formula do somatorio de nossa PG seria:
Sn = a1 * (q^n - 1)/ (q - 1)

onde substituindo, obteriamos:
2^n -1

agora deduzimos entao que a formula geral seria: f(n)= 3 * ( 2^n - 1)

para provarmos por inducao, vamos provar que eh valido para n=1
f(1) = 3 * ( 2^1 -1)
f(1) = 3 * ( 1 ) => f(1) = 3 ( OK, provamos para n=1 )

agora substituimos por n, por um k, qualquer e obtemos:
f(k)= 3 * (2^k -1)

agora substituimos por k+1
f(k+1)= 3 * (2^(k+1) -1)

ok, agora note que se pegarmos a formula inicial e aplicarmos n=k, obteremos o seguinte..
f(k+1)=2 * f(k) + 3

ja que obtemos f(k+1) de nossa formula e f(k+1) da formula original, para provarmos que descobrimos a formula geral
entao o resultado de f(k+1), tem que ser igual, assim tb testamos se eh valida para qualquer elemento, provando isso para qualquer sucessor de k, ou seja (k+1)
entao temos o seguinte..
f(k)= 3 * (2^k -1)
f(k+1)= 3 * (2^(k+1) -1)
f(k+1)=2 * f(k) + 3

agora igualando os f(k+1), obtemos..
2 * f(k) + 3 = 3 * (2^(k+1) -1)
substituindo f(k), pelo valor conhecido tb.. ( da nossa formula geral )
2 * (3 * (2^k -1)) + 3 = 3 * (2^(k+1) -1)
6 * (2^k -1) + 3 = 3 * (2^(k+1)) -3
agora, dividimos amobs os lados por 3
2 * (2^k -1) + 1 = 2^(k+1) - 1
2^(k+1) -2 + 1 = 2^(k+1) - 1
2^(k+1) - 1 = 2^(k+1) - 1 (OK)
obtemos assim, a nossa prova...

Obrigada .