Progressão Geométrica

por claudia Seg 26 Abr 2010, 20:25

Seja uma PG crescente de números reais, formada por quatro termos. a soma do 1º e do último termo é igual a 27 e a soma dos termos intermediários é 18. Escreva essa PG. (sugestão: lembrar que 1+ a³ = (1 + a) (1 - a + a²)
Resposta:( 3, 6, 12, 24)

por **aryleudo** Seg 26 Abr 2010, 21:04

DADOS
a1 = a
a2 = a1.q = a.q
a3 = a1.q² = a.q²
a4 = a1.q³ = a.q³

A soma do 1º e do último termo:
a1 + a4 = a + a.q³ = 27
a1 + a4 = a(1 + q³) = 27
a1 + a4 = a(1 + q) (1 - q + q²) = 27-----------(I)

A soma dos termos intermediários
a2 + a3 = a.q + a.q² = 18
a2 + a3 = a.q(1 + q) = 18---------------------(II)

SOLUÇÃO
Dividindo (I) por (II):
$Progressão Geométrica Gif.latex?\frac{a(1&space;+&space;q)&space;(1&space;-&space;q&space;+&space;q^{2})}{a$

Resolvendo a Equação do 2° Grau:
$Progressão Geométrica Gif.latex?\\2q^{2}-5q+2=0\\&space;\Delta&space;=&space;(-5)^{2}&space;-&space;4.2$

Substituindo " q' " e " q'' " em (II):
a'.2(1 + 2) = 18
a'.6 = 18 --> a' = 3

$Progressão Geométrica Gif$

Assim:
P.G. Crescente
a1 = 3
a2 = 3.2 = 6
a3 = 3.2² = 3.4 = 12
a4 = 3.2³ = 3.8 = 24

ou

P.G. Decrescente
a1 = 24
a2 = 24.(1/2) = 12
a3 = 24.(1/2)² = 24.(1/4) = 6
a4 = 24.(1/2)³ = 24.(1/8 ) = 3

P.S.: Já reparei o erro. Muito grato pelo alerta mestre Euclides!

por **Euclides** Seg 26 Abr 2010, 21:18

Solução perfeita Ary. Faço apenas um acêrto na equação do segundo grau

$\\2q^2-5q+2=0\hspace{30}\Delta=9\\\\q=\frac{5\pm3}{4}\to\begin{cases}q=2\to \text{PG crescente, ok}\\q=\frac{1}{2} \to \text{ PG decrescente}\end{cases}$