Geometria Analítica (Eq. da Reta)

por pedrosalgadoo Ter 07 Jan 2014, 11:28

Dados o ponto A(3,4,-2) e a reta r:
r: x=1+t; y=2-t; z=4+2t;

a) Determinar equações paramétrica da reta que passa por A e é perpendicular a r
b) Calcular a distância de A a r
c) Determinar o ponto simétrico de A em relação a r.

por Luck Ter 07 Jan 2014, 18:30

Seja s a reta que passa por A e é perpendicular a r, seja P (1,2,4) um ponto pertencente a reta r, v(1,-1,2) o vetor diretor da reta r e u (a,b,c) o vetor diretor da reta s.
Como v ⊥ u , o produto escalar é nulo:
(1,-1,2).(a,b,c) = 0 ∴ a - b + 2 c = 0 (i)

PA (2,2,-6)
Os vetores v,u e PA são coplanares, logo o produto misto é nulo:
[u,v,PA] = 0 ∴ a + 5b + 2c = 0 (ii)
(ii) - (i): 6b= 0 ∴ b =0, assim a= -2c
u ( -2c,0 , c ) ∴ u (-2,0,1)
x = -2k +3
y = 4
z = k - 2

b) A distância de ponto a reta no r3 pode ser calculada por :
d = |AQ x v|/|v| , onde Q é um ponto qualquer da reta r, Q=P = (1,2,4) , 'x' é produto vetorial.
calculando vc obtém d = 2√5

c) Como s ⊥ r , o ponto de interseção das retas é o ponto médio de A e do simétrico em relação a r, A' (x',y',z') . Seja M o ponto de interseção das retas, basta igualar as equações paramétricas para obter o ponto:
de y : 2-t = 4 ∴ t = -2
x = 1-2=-1 ; y = 4 ; z = 4 +2(-2) = 0 ∴ M(-1,4,0)
M = (A+A')/2
-1 = (3+x')/2 ∴ x' = -5
4 = (4+y')/2 ∴ y' = 4
0 = (-2+z')/2 ∴ z'= 2
A' (-5,4,2)

favor, verifique as contas..

por pedrosalgadoo Ter 07 Jan 2014, 20:14

Cara, você não merece palmas, merece o tocantins inteiro rsrs
Brincadeiras a parte, todas as contas estão certas.
Muito obrigado pela ajuda, eu tava muito agarrado nessa questão.
Só um detalhe na letra a). Nesta alternativa, eu só estava enxergando a relação entre os vetores diretores das retas (o produto escalar deles é nulo, pois são perpendiculares). Você acabou enxergando uma outra relação, onde o produto misto de PA, v e u é nulo, já que são coplanares.
Assim, você obteve 2 equações para 3 incógnitas e conseguiu descobrir que uma das incógnitas(nesse caso, b) era nula. Mas eu posso afirmar que isso sempre vai acontecer? E se isso não acontecer, teria uma outra relação a ser encontrada? De qualquer forma muito obrigado pela ajuda!

por Luck Ter 07 Jan 2014, 22:50

pedrosalgadoo escreveu:Cara, você não merece palmas, merece o tocantins inteiro rsrs
Brincadeiras a parte, todas as contas estão certas.
Muito obrigado pela ajuda, eu tava muito agarrado nessa questão.
Só um detalhe na letra a). Nesta alternativa, eu só estava enxergando a relação entre os vetores diretores das retas (o produto escalar deles é nulo, pois são perpendiculares). Você acabou enxergando uma outra relação, onde o produto misto de PA, v e u é nulo, já que são coplanares.
Assim, você obteve 2 equações para 3 incógnitas e conseguiu descobrir que uma das incógnitas(nesse caso, b) era nula. Mas eu posso afirmar que isso sempre vai acontecer? E se isso não acontecer, teria uma outra relação a ser encontrada? De qualquer forma muito obrigado pela ajuda!

Nem sempre, por acaso uma das incógnitas foi nula, mas se não fosse vc precisaria resolver o sistema de duas equações e três incógnitas em função de uma das incógnitas, e do mesmo modo obteria o vetor diretor..veja um exercício parecido:
https://pir2.forumeiros.com/t52236-retas-no-plano-r

por pedrosalgadoo Ter 07 Jan 2014, 22:57

entendi muito obrigado!

por Edmilson Roque Qua 23 Mar 2016, 15:51

Poderia fazer essa parte de produto misto detalhadamente, eu conheço as propriedades de produto misto porém quando realizo a conta não dá o mesmo valor a + 5b + 2c = 0 (ii)