(MAPOFEI 1973) Equações polinomiais

por hwcv Sáb 04 Jan 2014, 21:09

Parte A: Determine o número complexo z = x + iy tal que os números z, 1/z e 1 - z tenham o mesmo módulo. Parte B: Um polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c é divisível pelo seu polinômio derivado P'(x) e este é divisível por x - 1. Determine os coeficientes a, b e c.

por PedroCunha Sáb 04 Jan 2014, 22:24

Parte A

Veja:

z = x + y * i

|z| = √(x² + y²)

|1/z| = 1/√(x²+y²)

1-z = (1-x) - y * i
|1-z| = √[ (1-x)² + y² ]

Vejamos:

√(x² + y²) = √[ (1-x)² + y² ]
x² + y² = 1 - 2x + x² + y²
2x = 1
x = 1/2

√(x² + y²) = 1/√(x² + y²)
√(x² + y²)² = 1
x² + y²= 1
1/4 + y² = 1
y² = 3/4
y = +- √3/2

Logo: Z = 1/2 + √3/2 ou Z = 1/2 - √3/2

Parte B

Derivada de P(x) é : 3x² + 2ax + b, que segundo o enunciado é divisível por x - 1, logo:

3*1² + 2a + b = 0
2a + b = - 3 (i)

Ainda do enunciado, P(x) é divisível por P'(x). Fazendo a divisão pelo Método das Chaves, chegamos em R(x) igual à:

[(6b-2a²)/9] * x - [ (ab + 9c)/9 ] = 0

Daqui e de i tiramos:

2a + b = - 3 (I)
(6b - 2a²)/9 = 0 .:. 6b = 2a² --> b = a²/3(II)
(ab + 9c)/9 = 0 .:. ab = -9c (III)

De II em I:

2a + a²/3 = -3
6a + a² = - 9
a² + 6a + 9 = 0
a = (-6 +- 0)/2
a = -3 .:. b = 3 .:. c = 1

Att.,
Pedro

(MAPOFEI 1973) Equações polinomiais

(MAPOFEI 1973) Equações polinomiais

Re: (MAPOFEI 1973) Equações polinomiais

Um fórum livre e democrático.