(UNILUS) Piramide, P.A. e Volume.

Em uma piramide de base triangular, os três lados da base e a altura correspondem, respectivamente, em números inteiros de centímetros, aos termos de uma progressão aritmética crescente de soma 18, em que a soma dos dois primeiro termos supera cada um dos outros dois. Qual é o volume da pirâmide?
 
a)  12 cm²
b)  15cm²
c)  18cm²
d)  20cm²
e)  24cm²

Não tenho a resposta.

Eu pensei assim:



x+x+r+x+2r+x+3r=18 ---> 4x+6r = 18
x+x+r > x+2r ---> 2x+r > x+2r
x+x+r > x+3r ---> 2x+r > x+3r

Só que não sei mais o que fazer. Fiquei sem saída 

Veja:

Soma dos termos de uma P.A. de a1 = x, r = r, n = 4:

[(a1 + an) * n]/2 = S
(x + x  +3r) * 4 = 2 * 18
2x + 3r = 9
2x = 9 - 3r
x = (9-3r)/2

Ainda do enunciado:

x + x + r > x + 2r
2x + r > x + 2r
x > r (ii)

x + x + r > x + 3r
2x + r > x  +3r
x > 2r (iii) --> Essa é a condição que vale

Agora veja uma frase do enunciado:

em números inteiros de centímetros


Daqui concluímos que:


(9-3r)/2 deve ser inteiro.


Testando valores para r e lembrando que x > 2r, temos:

Para r = 1:

x = (9-3)/2
x = 3 --> Confere

Para r = 2:

x = (9-6)/2
x = 3/2 --> Não serve

Para r = 3:

x = 0 --> Paramos por aqui

Logo, os valores dos lados e da altura da pirâmide são:

3,4,5,6

Sabemos que o volume da pirâmide é dado por: V = (Sb * h)/3

Vamos encontrar a área da base utilizando a Fórmula de Herão:

S² = [(3+4+5)/2] * [(3+4+5)/2 - 3] * [(3+4+5)/2 - 4] * [(3+4+5)/2 - 5]
S² = 6 * 3 * 2 * 1
S² = 36
S = 6

Encontrando o volume:

V = (6 * 6)/3
V = 12cm³

É isso.

Abraços,
Pedro

Pedro

A base é um triângulo retângulo ---> 3. 4. 5 ---> S = (3.4)/2 ---> S = 6

Verdade, Élcio. Nem notei. 'Olhos de águia',

Obrigada a ambos!