Fuvest Dedução

por ThaisP Dom 29 Dez 2013, 15:06

o número

é racional.
prove que existe dois números irracionais, alfa e beta, tais que alfa elevado a Beta é racional.
x =2 Só que para fazer o que ele pede, como escrever uma dedução dessas na prova?

por **maico33LP** Dom 29 Dez 2013, 15:56

De fato a expressão dá 2. √2.√2 = 2 ; (√2)² = (√2)^1/2 -> 2.

Número irracional alfa e beta: √α e √β

(√α)^√β = √α.√β = (α.β)^1/2 . Para isso, α=β, β=α ou α=1 ou β=1, desde que um deles seja quadrado perfeito.

Acho que é isso.

por **Euclides** Dom 29 Dez 2013, 16:39

maico33LP escreveu:De fato a expressão dá 2. √2.√2 = 2 ; (√2)² = (√2)^1/2 -> 2.

Número irracional alfa e beta: √α e √β

(√α)^√β = √α.√β = (α.β)^1/2 . Para isso, α=β, β=α ou α=1 ou β=1, desde que um deles seja quadrado perfeito.

Acho que é isso.

não é isso maico33LP.

Para isso, α=β, β=α ou α=1 ou β=1, desde que um deles seja quadrado perfeito

aí não temos irracionais...

por **maico33LP** Dom 29 Dez 2013, 17:00

Isso é verdade. raiz de 1 não é irracional. Então como seria?

por **Euclides** Dom 29 Dez 2013, 17:33

prove que existem dois números irracionais, alfa e beta, tais que alfa elevado a Beta é racional.

um único exemplo constitui prova.

por **Euclides** Dom 29 Dez 2013, 17:56

$\left (\left (\sqrt[n]{n} \right )^\sqrt[n]{n}^\sqrt[n]{n}^{....}^{\sqrt[n]{n}} \right )=n\;\;\;\text{(elevado a n potencias)}$

$\left (\left (\sqrt[n]{n} \right )^\sqrt[n]{n} \right )=\alpha\;\;\;\text{e irracional}$

${\left (\sqrt[n]{n} \right )^\sqrt[n]{n}}\;=\alpha\;\;\;\;e\;\;\;{\left (\sqrt[n]{n} \right )^\sqrt[n]{n}^{...}^{\sqrt[n]{n}}}=\beta$

$\alpha^\beta\;\;\;\;\;\text{e racional}$
________________________________________

como norma geral

$\\a^\beta=n,\;\;\;n\geq2\\\\{{{{\sqrt[n]{n}=\alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sqrt[n]{n}^\sqrt[n]{n^{n-1}}}=\beta}}$

por ThaisP Dom 29 Dez 2013, 20:57

ainda não entendi!

por **Euclides** Dom 29 Dez 2013, 21:06

Um único exemplo constitui a prova requerida

do caso geral

$\\a^\beta=n,\;\;\;n\geq2\\\\{{{{\sqrt[n]{n}=\alpha\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sqrt[n]{n}^\sqrt[n]{n^{n-1}}}=\beta}}$

para n=3

$\\\alpha=\sqrt[3]{3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\beta=\sqrt[3]{3}^{\sqrt[3]{3^2}}\\\\\alpha^\beta={\sqrt[3]{3}^{{\sqrt[3]{3}^\sqrt[3]{9}}}}=3$