Olimpíada de Campina Grande- 2001

Se a, b e c são números reais tais que a+b+c=0. Mostre que

 2(a⁴+b⁴+c⁴)
^{é um quadrado perfeito.}



Se não for pedir muito, gostaria que fizessem por polinômios simétricos(caso haja a possibilidade) e fatoração. Estou procurando aprender polinômios simétricos.

Por polinômios simétricos:
S[n] = a1S[n-1] -a2S[n-2] + a3S[n-3]
a1 = S1 = 0 ; S2 = a1² - 2a2 ∴ S2 = -2a2 

S[4] = a1S3 - a2S2 + a3S1
S[4] = 0 -a2(-2a2) + 0
S[4] = 2a2²
2S[4] = 4a2² = (2a2)² , c.q.d

Por fatoração:
S = 2(a^4 + b^4 + c^4)
S/2= (a²+b²+c²)² - 2(a²b² +a²c² +b²c²)
S/2= [ (a+b+c)² - 2(ab+bc + ac) ] ² - 2(a²b² + a²c² + b²c² )
S/2 = [-2(ab+bc+ac)]² - 2(a²b² + a²c² + b²c²)

(ab+ac+bc)² = a²b² +a²c² + b²c² + 2(a²bc + ab²c + abc²)
(ab+ac+bc)² = a²b² + a²c² + b²c² + 2abc(a+b+c)
(ab+ac+bc)² = a²b²+a²c² + b²c² , substituindo:

S/2 = 4(ab+ac+bc)² - 2(ab+ac+bc)²
S = 4(ab+ac+bc)²
S = [2(ab+ac+bc)]², c.q.d