Logaritmos Mackenzie

por dudsliver1 10/11/2013, 2:19 am

$Se\; \; log_y5 = 2x, \; \; 0<y \neq 1, \; entao\;\; \frac{y^{3x}+y^{-3x}}{y^{x}+y^{-x}}$ é igual a:

a) 121/25
b) 21/125
c)1/25
d) 21/5
e) 121/5

gabarito: d

agradeço quem puder ajudar =)

por PedroCunha 10/11/2013, 2:44 am

Veja:

Da definição de logaritmo, temos:

log_y 5 = 2x
y^{2x} = 5
(y^x)^2 = 5
y^x = √5

Sabendo disso, vamos trabalhar com a expressão:

$\\\frac{y^{3x} + y^{-3x}}{y^x + y^{-x}} = \frac{(y^x)^3 + \frac{1}{(y^x)^3}}{y^x + \frac{1}{y^x}} \therefore \frac{(\sqrt5)^3 + \frac{1}{(\sqrt5)^3}}{\sqrt5 + \frac{1}{\sqrt5}} \therefore \frac{\frac{[(\sqrt5)^3 \cdot (\sqrt5)^3] + 1}{(\sqrt5)^3}}{\frac{(\sqrt5 \cdot \sqrt5) + 1}{\sqrt5}} \therefore \\\\ \frac{\frac{126}{\sqrt5^3}}{\frac{6}{\sqrt5}} \therefore \frac{126\sqrt5}{6 \cdot (\sqrt5)^3} \therefore \frac{126\cancel{\sqrt5}}{6 \cdot (\sqrt5)^2 \cdot \cancel{\sqrt 5} } \therefore \frac{126}{30} = \frac{21}{5}$