(ITA - 2006) Polinômios

por Davi Cesar Correia Jr. 12/10/2013, 10:14 am

Sobre o polinômio $(ITA - 2006) Polinômios Gif$ podemos afirmar que:

a) x = 2 não é raiz de p.
b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais.
c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira.
d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras.
e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais. --> alternativa correta

por Luck 12/10/2013, 12:59 pm

x=2 é raíz, por briot-ruffini obtemos: (x-2)(x^4 +2x³-x² + 2x + 1)
x^4 + 2x³ - x² +2x + 1 = 0 , note que os coeficientes equidistantes são iguais, então temos um polinômio recíproco de primeira espécie.
dividindo a eq. por x²:
x² + 2x - 1 + (2/x) + (1/x²) = 0
x² + (1/x²) + 2(x + (1/x) ) - 1 = 0
x + (1/x) = t ; x² + (1/x)² = t² - 2
t² - 2 + 2t - 1 = 0
t² + 2t - 3 = 0 ∴ t = -3 ou t = 1
x + (1/x) = -3 ∴ x² + 3x + 1 = 0 cujas raízes são (-3-√5)/2 ,(-3+√5)/2
x + (1/x) = 1 ∴ x² -x + 1 = 0 cujas raízes são complexas, logo letra d.