Gases e MHS

Minha tentativa:

Quando o pistão está em equilíbrio (numa posição que dista L/2 de ambas as extremidades do cilindro), o módulo da força exercida pelo gás em uma das suas superfícies é: F(gás) = P.A => F(gás) = (n.R.T.A)/V -> (eq1).

Mas V = (A.L)/2 => (eq1): F(gás) = (2.n.R.T)/L -> (eq2).

Supondo, sem perda de generalidade, que o pistão sofre um pequeno deslocamento   'x' para a esquerda (em relação à posição inicial), tem-se , nessa nova situação, que o lado do tubo que fica a esquerda do pistão ficará com um novo volume (V -  ∆V), onde  ∆V é o volume de gás presente no comprimento 'x' do tubo de secção transversal A.

Portanto, o módulo da força resultante que o gás da parte esquerda exerce no pistão (nessa nova situação) é dado por:
F(res) = P'.A => F(res) = (n.R.T.A)/(V -  ∆V) -> (eq3).

Mas (V -  ∆V) = (L - x).A => (eq3): F(res) = (n.R.T)/(L - x) -> (eq4).

Assim, o módulo do incremento de força na face esquerda do pistão (que atuará como força de restituição nesse movimento oscilatório) já pode ser calculado como segue abaixo: F = F(res) - F(gás) => (eq2) e (eq4):
F = [(n.R.T)/(L - x)] -  [(2.n.R.T)/L] <=> F = [n.R.T.(2.x - L)]/[(L - x).L] -> (eq5).

Como x ≈ 0, pode-se usar aproximação linear para linearizar a função de 'x' dada por f(x) = (2.x - L)/(L - x) para x ≈ 0.

A aproximação linear diz que f(x) ≈ f(xo) + f'(xo).(x - xo), para x ≈ xo.

Assim, para xo = 0, tem-se: f(x) ≈ f(0) + f'(0).x, x ≈ 0 -> (eq6).

Vamos, então, calcular a derivada de f(x) com relação à x para substituir em (eq6).

f'(x) = d((2.x - L)/(L - x) )/dx = (2.x - L)'.(1/(L - x)) + (2.x - L).(1/(L - x))'.

Mas d(1/(L - x))/dx = d((L - x)^(-1))/dx = [d((L - x)^(-1))/d(L - x)].[d(L - x)/dx] =>
=>  d(1/(L - x))/dx = 1/(L - x)².

Portanto, f'(x) = 2/(L - x) + (2.x - L)/(L - x)² => f'(0) = 1/L.

Note, também, que: f(0) = -1.

Substituindo os resultados encontrados em (eq6), vem:
f(x) ≈ (x/L) - 1 <=> f(x) ≈ -(L - x)/L, x ≈ 0 -> (eq7).

Substituindo (eq7) em (eq5), vem:
F = -[(n.R.T)/L].[(L - x)/L] <=> F = -[(n.R.T)/L²].(L - x) -> (eq8).

Comparando-se (eq8) com a força de restituição de um MHS (F = -k.d, onde 'd' é a elongação da partícula em MHS), pode-se perceber que o movimento do pistão é um MHS com k = (n.R.T)/L²  e elongação (L - x) (o que já era de se esperar).

Agora é só calcular o período de oscilações:
T = 2.∏.[(m/k)^(1/2)] => T = 2.∏.[(m/((n.R.T)/L²)^(1/2)] <=>
<=> T = 2.∏.L.[(m/(n.R.T))^(1/2)] -> (eq9).

Mas, da equação de Clapeyron, tem-se: P.V = n.R.T => P.A.L = n.R.T -> (eq10).

Substituindo (eq10) em (eq9), vem:
T = 2.∏.L.[(m/(P.A.L))^(1/2)] <=> T = 2.∏.[((m.L)/(P.A))^(1/2)], que é uma expressão  para o período válida apenas para pequenas oscilações, conforme o que foi pedido no enunciado.