triangulo isosceles

Em um trianglo retangulo isosceles BAC retangulo em A traça-se a mediana BD relativa a um dos catetos AC. Do ponto E, no qual a reta que contém a mediana encontra o círculo circunscrito, baixemos EF perpendicular sobre AC. Mostre que AF=3EF

BAC ~GEF---(x/2)/GF=x/EF---->EF=2GF-->GF=EF/2

Pitágoras GEF -->(GE)²=(EF)²+(EF/2)²---->GE=EFV5/2

Triângulo ABG Pitágoras---> (BG)²=x²+(x/2)²---->BG=x.V5/2


Relação entre cordas----> BG.GE=(x/2).(x/2)
xV5/2.EF.V5/2=x²/4---->x=5EF---x/2=AG=5EF/2
Mas,  AF=AG+GE---->AF=5EF/2+EF/2--->AF=6EF/2=3EF


att

Raimundo, por que a razão de semelhança do BAG para o EFG é 1/2?

Resolvendo por GA

1) Trace um sistema xOy e desenhe uma circunferência de centro O(0, 0) e raio R

2) Desenha o triângulo ABC com A(0, R), B(- R, 0) e C(R, 0)

3) Trace a reta BD com D(R/2, R/2) e prolongue-a até a circunferência no ponto E(xE, yE)

4) Por E trace a reta EF perpendicular a AC no ponto F(xF, yF)

Equação da reta BDE ----> m = yD/(xD - xB) = (R/2)/(R/2 + R) = 1/3 ---->

 y - yB = (1/3).(x - xB) ---> y - 0 = (1/3).(x + R) ----> y = x/3 + R/3 ---> I

Equação da circunferência ----> x² + y² = R² ---> II

Ponto de encontro E da reta BDE com a circunferência ---> II = I ---->  x² + (x/3 + R/3)² = R² --->

xE² + xE²/9 + 2R.xE/9 + R²/9 = R² ---> 5xE² + R.xE - 4R² = 0 ----> Raiz: xE = 4R/5

I ----> yE = xE/3 + R/3 ----> yE = (4R/5)/3 + R/3 ----> yE = 3R/5

Equação da reta AC ----> y = - x + R ----> m = - 1 ----> III

Equação da reta EF perpendicular a AC ---> y - yE = 1.(x - xE) ---> y - 3R/5 = x - 4R/5 ---> y = x - R/5 ---> IV

Ponto F de encontro da reta EF com a reta AC ----> IV = III ---> xF - R/5 = - xF + R ----> xF = 3R/5

III ----> yF = - 3R/5 + R ----> yF = 2R/5

Distância EF ----> EF² = (xE - xF)² + (yE - yF)² ---> EF² = (4R/5 - 3R/5)² + (3R/5 - 2R/5) ----> EF = R.√2/5

Distância AF  ----> AF² = (xF - xA)² + (yF - yA)²² ----> AF² = (3R/5 - 0)² + (2R/5 - R)² ----> AF = R.3√2/5

Logo, AF = 3.EF

Gabriel

1) Os triângulos BAG e EFG são semelhantes porque tem lados respectivamente perpendiculares

A razão de semelhança é1/2 ----> AB = 2.AG ----> EF = 2.GF

Raimundo

A 2ª linha está errada ----> AG ≠ 2.GF

Entendi mestre Elcio.

BAG~EFG (AA)  2âng. retos e âng. opostos pelos vértices.
Sendo os triâng. semelhantes, não são mantidas as proporcionalidade este seus catetos?
BAG (x/2 e x)  r=1/2 e  GEF ( GF e FE) r=1/2 ????

Creio ter me perdido como fazer  a proporcionalidade nos triângulos.

Raimundo

Chamemos EF = y ------> GF = y/2

Note que x é o dobro de x/2, assim como y é o dobro de y/2
O mesmo ocorre com o terceiro lado dos triângulos ----> AG = 2.GE

Isto não quer dizer que um lado de um triângulo (x/2) seja o dobro do lado correspondente do outro (y/2)

Obs. O ponto G do Raimundo corresponde ao ponto D do enunciado e da minha solução

Conseguir resolver por geo euclidiana. Já editado.

att

Valew galera pela ajuda!!! Bjus a todos!!!

Elcioschin escreveu:Gabriel

1) Os triângulos BAG e EFG são semelhantes porque tem lados respectivamente perpendiculares

A razão de semelhança é1/2 ----> AB = 2.AG ----> EF = 2.GF

Raimundo

A 2ª linha está errada ----> AG ≠ 2.GF

Entendi agora. Esqueci que dá pra obter a razão de semelhança por apenas um dos triângulos. Obrigado por esclarecer.