Função crescente (sequências)

por **Giiovanna** Sex 04 Out 2013, 22:37

Para fazer um exercício sobre sequências, preciso provar que a função f(x) = x^{1/n}, com n pertencente aos naturais, é crescente (ou, no mínimo, monótona), para x>0. Com derivadas e usando a hipótese de que x>0, é possível provar isso rapidamente. Mas, como estou estudando sequências e limites, teoricamente nós não temos derivadas. Então, como provar, rigorosamente, que x < y => x^{1/n} < y^{1/n} para x>0?

Não consegui proceder por indução.

por **Euclides** Sex 04 Out 2013, 23:43

A função logarítimica é crescente, para x > 0

$\\\text{se }x<y\;\;\to\;\;\ln(x)<\ln(y)\;\;\to\;\;\frac{1}{n}\ln(x)<\frac{1}{n}\ln(x)\;\;\\\to\;\;x^{\frac{1}{n}}<y^{\frac{1}{n}}\;\;\;\;\;n\;\in\;N$