UERJ - Elipse

Um holofote situado na posição (-5,0) ilumina uma região elíptica de contorno x² + 4y² = 5, projetando sua sombra numa parede representada pela reta x = 3, conforme ilustra a figura abaixo.

Considerando o metro a unidade dos eixos, o comprimento da sombra projetada é de:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5

Sejam r1 e r2 as retas que passam por (-5, 0) e tangenciam a elipse. Essas retas tem equação da forma y = m(x + 5).

Cada um desses pontos de tangencia satisfazem o sistema:
{x² + 4y² = 5
{y = m(x + 5)

Substituindo:
x² + 4m²(x + 5)² = 5 --> (4m² + 1)x² + (40m²)x + (100m² - 5) = 0

Para que essa equação tenha solução única (já que se trata de uma única intersecção), tem-se:
Δ = (40m²)² - 4(4m² + 1)(100m² - 5) = 0 --> m² = 1/16 --> m = ±1/4

Para m = 1/4, tem-se (r1) y = (1/4)(x + 5). Para m = -1/4, tem-se (r2) y = (-1/4)(x + 5).
Os pontos de tangencia dessas retas com a elipse são (-1, 1) e (-1, -1). A distancia entre esses pontos é 2.

O triângulo na imagem tem altura 8 e base B. O triângulo cujos vértices são os pontos (-5, 0), (-1, 1) e (-1, -1) tem altura 4 e base 2. Esses triângulos são semelhantes, e portanto:
8/B = 4/2 --> B = 4

Letra C

Demorei pra conseguir, mas deu certo agora. Obrigada (:

Não entendi como achou os pontos de tangencia das retas com a elipse! Se puder tirar essa duvida agradeço.

Basta substituir os valores de m encontrados no sistema, ai vc obterá dois sistemas (um para m= 1/4 e outro para m = -1/4), e depois resolvendo cada sistema vc encontra os pontos (um ponto para cada sistema).

Tentei fazer de um jeito meio geométrico.Por que está errado??

achei o eixo menor que deu (V5)/2 e fiz semelhança de triângulos entre o triangulo (-5,0),(0,V5/2)(0,-V5/2) e o triângulo maior (-5,0),(D,0)e (-D,0).Acabei achando que o tamanho da sombra é 8V5/5 .

OBS:Ponto D é o ponto em que a reta tangente toca a reta x=3

Milly pois o triângulo cujos vértices são as intersecções da elipse com o eixo y e a intersecção comum das tangentes com o eixo x não é semelhante ao triângulo formado pelas retas tangentes e a sombra.

Mas porque não? os eixos das tangentes não são exatamente paralelos?estou viajando tanto assim?

Segue a imagem do problema (incluindo o triângulo ABC que vc usou):


O triângulo ABC não é semelhante ao triângulo ADE (limitado entre as tangentes r1 e r2 e a sombra x = 3) pois o ângulo ∠BAC é diferente do ângulo ∠DAE, já que as tangentes não passam por B e C.

Milly tinha cometido um erro na mensagem anterior  :aaa:. Mas já corrigi (parte editada em vermelho).