principio da indução finita
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principio da indução finita
por *bebelo34 Dom 08 Set 2013, 19:40
1) mostre que 2+5+8+...+...+(2+3n)= n(4+3n)/2,∀n∈ n
Prova:
I - Para n = 0
(2 + 3.0) = 2 = [ (0 + 1).(3.0 + 4) ]/2 = (1.4)/2 = 2 , ok!
II - Suponhamos que para n = k , seja verdade , isto é ;
2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) = [ (k + 1).(3k + 4) ]/2 ( H.I )
III - Devemos mostrar que para n = k + 1 , seja verdadeiro , isto é
, 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + (5 + 3k) = [ (k + 2).(3k + 7) ]/2 (tese)
De fato;
2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + (5 + 3k) =
Mas;
2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) é a nossa "hipótese de indução", ou seja ;
(k + 1).(3k + 4)
▬▬▬▬▬▬▬ + (5 + 3k) =
..........2
(k + 1).(3k + 4) + 2.(5 + 3k)
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
....................2
3k² + 4k + 3k + 4 + 10 + 6k
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
....................2
3k² + 7k + 6k + 14
▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
...............2
k.(3k + 7) + 2(3k + 7)
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
................2
(k + 2).(3k + 7)
▬▬▬▬▬▬▬ , que é a nossa tese ! c.q.p
esta certa essa questao
Prova:
I - Para n = 0
(2 + 3.0) = 2 = [ (0 + 1).(3.0 + 4) ]/2 = (1.4)/2 = 2 , ok!
II - Suponhamos que para n = k , seja verdade , isto é ;
2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) = [ (k + 1).(3k + 4) ]/2 ( H.I )
III - Devemos mostrar que para n = k + 1 , seja verdadeiro , isto é
, 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + (5 + 3k) = [ (k + 2).(3k + 7) ]/2 (tese)
De fato;
2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + (5 + 3k) =
Mas;
2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) é a nossa "hipótese de indução", ou seja ;
(k + 1).(3k + 4)
▬▬▬▬▬▬▬ + (5 + 3k) =
..........2
(k + 1).(3k + 4) + 2.(5 + 3k)
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
....................2
3k² + 4k + 3k + 4 + 10 + 6k
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
....................2
3k² + 7k + 6k + 14
▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
...............2
k.(3k + 7) + 2(3k + 7)
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
................2
(k + 2).(3k + 7)
▬▬▬▬▬▬▬ , que é a nossa tese ! c.q.p
esta certa essa questao
*bebelo34- Jedi
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Re: principio da indução finita
por mauk03 Seg 09 Set 2013, 22:29
Vc errou no enunciado. O correto seria "mostre que 2+5+8+...+...+(2+3n)= (n+1)(4+3n)/2,∀n∈ n".
Para n = k:
=\frac{(k+1)(4+3k)}{2} "2+5+8+...+(2+3k)=\frac{(k+1)(4+3k)}{2}")
(I)
Para n = k + 1:
(4+3k)}{2}}{\underbrace{2+5+8+...+(2+3k)}}+[2+3(k+1)]=\frac{[(k+1)+1][4+3(k+1)]}{2} "\underset{\frac{(k+1)(4+3k)}{2}}{\underbrace{2+5+8+...+(2+3k)}}+[2+3(k+1)]=\frac{[(k+1)+1][4+3(k+1)]}{2}")
(II)
De I e II:
(4+3k)}{2}+[2+3(k+1)]=\frac{[(k+1)+1][4+3(k+1)]}{2} "\frac{(k+1)(4+3k)}{2}+[2+3(k+1)]=\frac{[(k+1)+1][4+3(k+1)]}{2}")
Sendo:
(4+3k)}{2}+[2+3(k+1)]=\frac{3k^{2}+7k+4}{2}+\frac{2(3k+5)}{2}=\frac{3k^{2}+13k+14}{2} "\frac{(k+1)(4+3k)}{2}+[2+3(k+1)]=\frac{3k^{2}+7k+4}{2}+\frac{2(3k+5)}{2}=\frac{3k^{2}+13k+14}{2}")
(3k+7)}{2}=\frac{[(k+1)+1][4+3(k+1)]}{2} "=\frac{(k+2)(3k+7)}{2}=\frac{[(k+1)+1][4+3(k+1)]}{2}")
Está provada a relação.
Para n = k:
Para n = k + 1:
De I e II:
Sendo:
Está provada a relação.
mauk03- Fera
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