àlgebra - múltipo de soma de potências

É correto afirmar que o número 2^70 + 3^70 é múltiplo de :
a)2
b)3
c)5
d)7
e)13 

Resol. por congruência

att

Bem, comecemos com relembrando o teorema de Euller!!

a^(phi de p) = 1 (mod p) se a e p são primos entre si!!

exemplo númérico: 5^10 = 1 (mod 11) [phi de 11 = 10]

Assim, comecemos pela letra a!

2^70 + 3^70 = x (mod 2)
2^70 = 0 (mod 2) e 3^70 = 1 mod 2. Logo, a soma é congruente a 1 mod 2.
O mesmo vale pra letra b! (Na verdade acho a A e a B super intuitivo)

Letra C!
2^70 + 3^70 = y (mod 5)
Pelo teorema de Euller...
2^4 = 1 (mod 5) e 3^4 = 1 (mod 5)
Logo, (2^4)^17.2² + (3^4)^17.3² = y (mod 5)
Substituímos 2^4 e 3^4 por 1... Fica:
4 + 9 = y (mod 5). 13 = y (mod 5) y = 3!

Letra D!
2^70 + 3^70 = z (mod 7)
Pelo teo. de Euller
2^6 = 1 e 3^7 = 1 (mod 7)

((2^6)^11).2^4 + ((3^6)^11).3^4 = z (mod 7)
Substituímos 2^6 e 3^6 por 1!
16+81 = z (mod 7)
97 = z (mod 7)
z = 6 (mod 7)

Agora, finalmente, a letra E!

2^70 + 3^70 = p (mod 13)
((2¹²)^5).2^10 + ((3¹²)^5.)3^10 = p (mod 13)
2^10 + 3^10 = p (mod 13)

Bem, 2^10 é de conhecimento geral da nação que é 1024. 3^10 é fácil de calcular também, mas vamos supor que seja um número maior e mais difícil.. Então, observemos... (Uma observação rápida: o phi de Euller dá congruente a 1 mas ele não é o único tão pouco o primeiro. É apenas uma garantia direta de que há uma potência de N que dê resto 1!) que 3^3 = 1 (mod 13).

Logo, 2^10 + (3³)³.3 = p (mod 13)
2^10 + 3 = p (mod 13)
1027 = p (mod 13)
p = 0

Espero que tenha ajudado... Eu particularmente adoro usar Euller, Wilson e Fermat..

Obrigado sotonayu. Muito bom .
Att