Triângulo Prove

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Triângulo Prove

Mensagem por spawnftw em Sab Ago 31 2013, 01:06

Se P é um ponto interno de um triângulo ABC e x = PA, y = PB e z = PC, mostre que x + y + z está entre o semiperímetro e o perímetro do triângulo,



provei que é maior que o semiperímetro, mas não consigo provar a outra condição.

agradeço quem ajudar
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Re: Triângulo Prove

Mensagem por Elcioschin em Sab Ago 31 2013, 10:18

Sejam AB = c, AC = b  e BC = a

1)

x + y > c
y + z > a
z + x > b
------------------
2.(x + y + z) > a + b + c

x + y + z > (a + b + c)/2

x + y + z > p

2)


x < c
y < a
z < b

x + y + z < a + b + c ----> x + y + z < 2p


p < x + y + z < 2p


Última edição por Elcioschin em Dom Nov 20 2016, 08:42, editado 1 vez(es)
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Re: Triângulo Prove

Mensagem por spawnftw em Seg Set 02 2013, 19:35

Valeu Mestre Elcio, assim que fiz o tópico consegui resolver.
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Re: Triângulo Prove

Mensagem por trembau em Sab Nov 19 2016, 12:33

Perdoem a "pá de ouro", mas por que posso considerar que 
x < b, y < a e z < c? 
Grato desde já.

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Eu qria saber

Mensagem por georgito em Seg Abr 03 2017, 15:26

Eu tbm queria saber o pq da consideracao la de cima. Vlwww!

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Re: Triângulo Prove

Mensagem por Medeiros em Ter Abr 04 2017, 02:17

trembau escreveu:Perdoem a "pá de ouro", mas por que posso considerar que 
x < b, y < a e z < c? 
Grato desde já.
georgito escreveu:Eu tbm queria saber o pq da consideracao la de cima. Vlwww!
Façam o desenho, usem um triângulo qualquer, e olhem.
A consideração feita é visível.
Dependendo da medida dos lados do triângulo que você desenhou e de onde você colocou o ponto P, podemos ter x >  b mas neste caso será x < c e, consequentemente, z < b -- o y continua sendo y < a. De qualquer forma a soma x+y+z continua sendo menor que a+b+c.

Isto acontece porque qualquer ceviana de um triângulo será menor do que pelo menos um dos lados que concorrem no vértice de onde partiu a ceviana.
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