Sendo A, B e C ângulos internos de um triângulo, prove que:

por soniky Qui 30 Ago 2012, 18:27

Provar que se A, B e C são triângulos internos de um triângulo, então sen A + sen B + sen C = 4.cos(A/2).cos(B/2).cos(C/2).

por **Robson Jr.** Sex 31 Ago 2012, 16:09

Partindo do lado esquerdo, chegarei ao lado direito da igualdade.

Da soma dos ângulos internos de um triângulo, temos C = 180 - (A+B).

$\small sen(A)+sen(B)+sen(C) \\ \rightarrow \ sen(A)+sen(B)+sen(180-(A+B)) \\ \rightarrow \ sen(A)+sen(B)+sen(A+B)$

Usando a transformação sen(p) + sen(q) = 2.sen[(p+q)/2]cos[(p-q)/2]:

$\small \\ \rightarrow \ 2sen\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )+sen(A+B)$

Mas sen(A+B) = sen(2 . (A+B)/2 ) = 2.sen[(A+B)/2]cos[(A+B)/2].

$\small \\ \rightarrow \ 2.sen\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )+ 2.sen\left ( \frac{A+B}{2} \right ).cos\left ( \frac{A+B}{2} \right ) \\\\ \rightarrow \ 2.sen\left ( \frac{A+B}{2} \right )\left [ cos\left ( \frac{A-B}{2} \right ) +cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )\right ]$

Usando a transformação cos(p) + cos(q) = 2.cos[(p+q)/2]cos[(p-q)/2]:

$\small \\ \rightarrow \ 2.sen\left ( \frac{A+B}{2} \right )\left [ 2.cos\left ( \frac{A}{2} \right )cos\left ( \frac{B}{2} \right )\right ]$

Finalmente, de C = 180 - (A+B) temos (A+B)/2 = 90 - C/2.

$\small \\ \rightarrow \ 2.sen\left ( 90-\frac{C}{2} \right )\left [ 2.cos\left ( \frac{A}{2} \right )cos\left ( \frac{B}{2} \right )\right ] \\\\ \rightarrow \ 4.cos\left ( \frac{A}{2} \right )cos\left ( \frac{B}{2} \right )cos\left ( \frac{C}{2} \right )$