Desafios F.A. 31

Num triângulo ABC seja D um ponto sobre o lado AC tal que AD = 2.DC, DBC = 15º e BCA = 45º. Calcule a medida do ângulo BAC.

Spoiler:

Olá  Anderson.  Bem que tentei , mas não resolvi. Se possivel poste a resolução.

Att

Seja ----> x = CD ----> AD = 2x


 + A^BD + C^BD + A^CB = 180º --->  + A^BD + 15º + 45º = 180º ----> A^BD = 120 - Â

Lei dos senos:

1) No ∆BCD ----> CD/sen15º = BD/sen45º ----> BD = x.sen45º/sen15º

2) No ∆ ABD ---> BD/sen = AD/senA^BD ---> 2x/sen = (x.sen45º/sen15º)/sen(120º - Â) --->

sen45º/sen15.sen = 2/sen(120º - Â) ----> sen45º/sen15º.sen = 2/[sen120º.cos - cos120º.senÂ) --->

sen45º/sen15º.sen = 2/[(V3/2).cos - (- 1/2).senÂ] ---> (\/2/2)/sen15º.sen = 4/(\/3.cos +.senÂ) --->

1/2.sen15º.sen = 4/(\/6cos + \/2senÂ) ---> \/6cos + \/2sen = 8.cos15º.sen --->

 \/6.cos + \/2.sen = 8.[(\/6 - \/2)/4].sen ---> \/6.cos + \/2sen = (2\/6 - 2\/2).sen --->

 \/6.cos = (2\/6 - 3\/2).sen ----> 6.cos²Â = (2.\/6 - 3.\/2)².sen²Â ----> 6.(1 - sen²Â) = (42 - 24.\/3).sen²Â ---->

6 - 6,sen²Â = (42 - 24.\/3).sen²Â ----> 6 = (48 - 24.\/3)sen²Â ----> 6 =  24.(2 - \/3).sen²Â ---->

1 = 4.(2 - \/3).sen²Â ---> sen²Â = 1/4.(2 - \/3) ----> sen²A = (2 + \/3)/4 ----> sen = (\/6 + \/2)/4 ---> A = 75º

Valeu mestre Elcio.
Acabei de receber uma resolução por geometria euclianda , depois vou postá-la para os colegas fiquem com as duas opções.

como saber que o menor cateto do triângulo AKD é x?
Como concluir que AK é igual  a  kc?

Camila

O Raimundo explicou::

1) ADK é retângulo 30/60/90 (hipotenusa 2x, logo menor cat. é x)

Lembre-se que AD.cos60º = DK ---> 2x.(1/2) = DK ---> DK = x

2) O triângulo KAC é isósceles (dois ângulos de 30º), logo AK = CK