Desafios F.A. 24
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Desafios F.A. 24
por Anderson_007 Qua 19 Jun 2013, 17:06
Seja (1 + tg0º)(1 + tg1º)(1 + tg2º)...(1 + tg44º)(1 + tg45º) = 2^m, qual é o valor de m ?
- Spoiler:
- RESPOSTA: 23
Anderson_007- Recebeu o sabre de luz
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Re: Desafios F.A. 24
por Elcioschin Qua 19 Jun 2013, 19:20
1 + tg0º = 1 + 0 = 1
1 + tg45º = 1 + 1 = 2
(1 + tg1º).(1 + tg44º) = 1 + tg1º + tg44º + tg1º.tg44º ----> I
tg45º = tg(1º + 44º) ---> 1 = (tg1º + tg44º)/(1 - tg1º.tg44º) ----> 1 - tg1º.tg44º = tg1º + tg44º ----> tg1º + tg44º + tg1º.tg44º = 1 ----> II
II em I ----> (1 + tg1º).(1 + tg44º) = 1 + 1 = 2
De modo similar para todos os 22 pares
1.(2^22).2 = 2^m ----> 2^23 = 2^m ----> m = 23
1 + tg45º = 1 + 1 = 2
(1 + tg1º).(1 + tg44º) = 1 + tg1º + tg44º + tg1º.tg44º ----> I
tg45º = tg(1º + 44º) ---> 1 = (tg1º + tg44º)/(1 - tg1º.tg44º) ----> 1 - tg1º.tg44º = tg1º + tg44º ----> tg1º + tg44º + tg1º.tg44º = 1 ----> II
II em I ----> (1 + tg1º).(1 + tg44º) = 1 + 1 = 2
De modo similar para todos os 22 pares
1.(2^22).2 = 2^m ----> 2^23 = 2^m ----> m = 23
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Desafios F.A. 24
por Luck Qua 19 Jun 2013, 19:43
Generalização: se a+b= pi/4 entao (1+tga)(1+tgb) = 2 , prova:
a+b = pi/4 ∴ tg(a+b) = 1
tga + tgb = 1 - tgatgb
tga + tgatgb + tgb = 1
tga(1+tgb) + tgb = 1
tga(1+tgb) + tgb + 1 = 1 + 1
(1+tgb)(1+tga) = 2
Também vale se a+b = pi/4 , (1-cota)(1-cotgb) = 2,a demonstração é análoga:
https://pir2.forumeiros.com/t43898-resolvidorelacoes-fundamentais-trigonometria
a+b = pi/4 ∴ tg(a+b) = 1
tga + tgb = 1 - tgatgb
tga + tgatgb + tgb = 1
tga(1+tgb) + tgb = 1
tga(1+tgb) + tgb + 1 = 1 + 1
(1+tgb)(1+tga) = 2
Também vale se a+b = pi/4 , (1-cota)(1-cotgb) = 2,a demonstração é análoga:
https://pir2.forumeiros.com/t43898-resolvidorelacoes-fundamentais-trigonometria
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Re: Desafios F.A. 24
por Anderson_007 Qua 19 Jun 2013, 22:38
Muito boa a resolução dos dois! Cara e pensar o que eu sofri pra fazer essa questão nos 5 min que me restava kkkkk Era o desafio da minha prova de geometria de ontem, pensei em fazer o do (1 + tg1º) aí lembrei que era a mesma coisa que (1 + tg(45º - 1º)) e quando eu desenvolvia este e multiplicava por (1 + tg44º) chegava aonde vocês chegaram tão facilmente... kk valeu aê!
Anderson_007- Recebeu o sabre de luz
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Re: Desafios F.A. 24
por Anderson_007 Qua 19 Jun 2013, 22:40
Será que vocês podem resolver o "Desafio F.A. 22". Tenho raiva dele porque já tentei de tudo que sei e não consigo resolvê-lo... Se puderem dedicar um tempinho da vida de vocês para ele eu ficarei muito feliz! Desde já, obrigado!
Anderson_007- Recebeu o sabre de luz
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