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Desafios F.A. 10

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Mensagem por Anderson_007 Seg 03 Jun 2013, 23:48

Em homenagem à marca de dez questões na série "Desafios F.A.", posto agora uma das questões mais difíceis que já vi na minha pequena vida estudantil... e uma das melhores!


Quais o valores de a e b?

P.S.: Quem ver a resposta no spoiler já irá saber praticamente de imediato o raciocínio, por isso, tentem primeiro fazer a questão, depois confiram a resposta!
Spoiler:
RESPOSTA: a = 2100 e b = -1

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Mensagem por Giiovanna Ter 04 Jun 2013, 10:38

Cada um dos termos é um número de Fermat. Ou seja, são números da forma
2^{2^i} + 1

Uma das "propriedades" desses números é que o número seguinte, por exemplo, F4, pode ser representado como a multiplicação dos anteriores mais 2.

Ou seja, F4 =F0. F1 . F2 . F3 + 2

Então:
Desafios F.A. 10 Gif.download?\left&space;(&space;2+1&space;\right&space;)\left&space;(&space;2^{2}+1&space;\right&space;)(2^{2^{2}}+1)(2^{2^{3}}+1)..

Daí,

Desafios F.A. 10 Gif.download?\left&space;(&space;2+1&space;\right&space;)\left&space;(&space;2^{2}+1&space;\right&space;)(2^{2^{2}}+1)(2^{2^{3}}+1)..

Foi assim wue você pensou? Smile


Última edição por Giiovanna em Qua 05 Jun 2013, 07:40, editado 1 vez(es)
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Mensagem por dlemos Ter 04 Jun 2013, 19:29

talvez seja mais intuitivo multiplicar ambos os lados por (2-1)... Very Happy

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Mensagem por Anderson_007 Ter 04 Jun 2013, 23:09

Giiovanna, ainda não tive um contato suficientemente bom com o teorema de Fermat, mas gostei muito da sua resolução. O método que emprego é o mesmo do dlemos, mas o acho muito difícil de se imaginar, pois é preciso voltar à adição da alfabetização e lembrar que 1+1 = 2, então 2-1 = 1. Realmente, é um raciocínio intuitivo bem avançado. Mais à frente postarei outro problema cuja resolução que eu conheço também se apresenta com um raciocínio semelhante! =)

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Mensagem por Giiovanna Qua 05 Jun 2013, 07:47

Que interessante Smile Seria pedir muito que você colocasse a resolução completa? Acho que entendi o que vocês quiseram dizer, mas gostaria de ver o raciocínio completo.

Não sei se você conhecia, mas os números de Fermat são números que possuem forma Desafios F.A. 10 Gif

Antes eram chamados Primos de Fermat, pois ele acreditava que essa fórmula fabricava números somente primos para qualquer i natural. Mas isso foi desmentido logo, o termo F5, por exemplo, já não é um primo, se não me engano. Isso mostra a importância da Indução finita para realizarmos provas, uma vez que testar os números não garante que se é válido para os primeiros, será paramos demais.

Mas mesmo assim esse número continua sendo bastante interessante por algumas propriedades como a que eu utilizei. Outra utilidade do número de Fermat seria verificar que todos os F_i são primos entre si, o que pode ser utilizado para provar que os números primos são infinitos.

Enfim, fica como curiosidade. Agradeço se puder postar sua resolução Smile
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Mensagem por Anderson_007 Sex 07 Jun 2013, 07:35

Claro que posso, com prazer! Conhecia essa fórmula e suas utilidades só de conversar com colegas mais experientes, espero ter mais tempo para estudá-la e saber usá-la tão bem quanto você soube! Pois bem, vamos à uma resolução detalhada! =)

Gostou? =)

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Mensagem por Giiovanna Sex 07 Jun 2013, 09:07

Muito bom, parabéns pelo raciocínio Smile
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Mensagem por Anderson_007 Sex 07 Jun 2013, 09:34

Very Happy

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