Triângulos (Cond. Exist.)

Seja T um triângulo de lados a, b e c com c >= b >= a >0 e definamos:
1) T² = T(a², b², c²) como sendo o quadrado do triângulo T.
2)VT = T(Va, Vb, Vc) como sendo a raiz quadrada do triângulo T.

Considere as afirmativas:
I O quadrado de um triangulo equilátero é equilátero;
II O quadrado de um triângulo retângulo não existe;
III T² existe se, e somente se, T é agudo;
IV VT sempre existe para todo T;
V Todos os ângulos de VT são agudos.

São verdadeiras as alternativas?

Quadrado de um triângulo? O que seria isso?

Ele definiu. Seria, por exemplo, um triângulo de lados 4, 5 e 6. Seu quadrado seria um triângulo de lados 16, 25, 36.

I) Como em uma equação, se fizer o mesmo com os dois termos a proporcionalidade continua.
II) O mesmo que a 1ª.
III) Essa eu não entendi, pois Ele toma T como uma triângulo e nessa quer relacioná-lo com um ângulo? Não faz sentido pra mim, se vc entendeu diz aí!
IV) O mesmo que a primeira.
V) No enunciado ele diz que " Seja T um triângulo de lados a, b e c com c >= b >= a >0 " , isso me permite ter um triângulo com ângulos agudos ou retângulo, daí não posso afirmar que todos os ângulos são agudos!

 As que considero corretas estão em vermelho.

Bem, a II eu discordo. Um triangulo retangulo, pelos ternos pitagóricos, são algo da forma m²-n², 2mn e m²+n²(hipotenusa). Com m > n (pela con. de exist.). 

Algo elevar ao quadrado, terá m^4-2m²n²+n^4 como um cateto, 4m²n² como outro e m^4 + 2m²n² + n^4 como a hipotenusa. E esse triangulo não existe, pois a soma de dois lados tem que ser maior que o terceiro. E no caso, vc sai em uma igualdade ao fazer isso! m^4+2m²n²+n^4 > m^4+2m²n²+n^4. 0 > 0 e isso n é possível.

E em relação as questões com angulo, creio q seja no mesmo caminho, de verificar se o triangulo existe e/ou permanece com alguma mesma característica.

Enfim, eu ainda to pensando, questão difícil, eu acho.

Amigo, errei mesmo na II, IV, V e na III acho que já entendi.

 Na II, um triângulo retângulo continua sendo retângulo se todos os lados forem multiplicados por um número em comum, no caso de elevar os lados ao quadrado, os lados ficam multiplicados por eles mesmos daí perde a proporcionalidade! Veja a figura(desconsidere o ângulo de 30º) -> 



A III, é verdadeira para um triângulo equilátero!

A IV, só existe para um equilátero! 

A V tenho como verdadeira, pois temos lados a,b e c. Supondo que o triângulo T seja retângulo, as raízes de a,b e c não formarão mais um trio pitagórico e mesmo com T não retângulo isso se repete(lembrando a condição para um triângulo existir é: b-c< a

I, II, III, V

não entendi muito bem a IV e a V...

IV) Quis dizer que a natureza de um triângulo equilátero não muda após tirarmos raízes de seu lados, pois os lados continuarão iguais.

V) Agora percebo que essa é mais complicada que eu pensava, pois só agora vejo que estava errado quanto a todos as outras resoluções que te dei como válidas, então vamos lá. Anteriormente dei um exemplo com um triângulo retângulo, agora vou dar com um isóceles. A questão pergunta se em um triângulo qualquer de lados de lados a, b e c com c >= b >= a >0, quando tirarmos as raízes dos seus lados, os ângulos internos serão todos agudos? Então como exemplo tomemos um triângulo isóceles de lados 5, 5 e 8, com ângulos internos de 120º, 30º e 30º. Tirando as raízes, os lados terão as seguintes medidas √5, √5 e 2√3. Repare na imagem dos triângulos ->



Conclui-se que tirando as raízes do lado desse isóceles, temos um ângulo obtuso e dois agudos. Então temos a alternativa V, como falsa!