área do polígono

por **Maria das Graças Duarte** Sáb 17 Ago 2013, 21:10

A figura abaixo representa um octógono regular tal que $área do polígono Mathtex$
Qual a área desse polígono?

por **raimundo pereira** Sáb 17 Ago 2013, 21:45

Olá Maria,

O ângulo interno do octogóno regular é calculado por:

$a_{i}=\frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}=\frac{180\cdot(8-2)}{8} =135^{\circ}$

-Observe agora o triângulo retângulo isósceles que ficou formando quando baixamos a perpendicular AP sobre HC.

-Chamando AP(cateto) de x, a hipotenusa é x√2.

-Em todo triângulo retângulo isósceles a hipotenusa mede o cateto vezes a √2.

-Então se AP mede x o lado do octógono mede x√2 , consequentemente CH mede:

$\\\overline{CH}= x + x\sqrt{2}+ x \rightarrow 2x + x\sqrt{2}=6\rightarrow \boxed{x=3\cdot(2-\sqrt{2})}$

-Agora ficou fácil: Área do octógono = 2 .(Área do trapézio AHBC) + (Área do retângulo CDHG)

-Área do trapézio: $S=\frac{(x\sqrt{2}+6)\cdot x}{2}$

- Área do retângulo: $S' = x\sqrt{2}\cdot6$

- Área total:

$\\S_{T}=2\cdot\frac{(x\sqrt{2}+6)\cdot x}{2}+6x\sqrt{2}\\\\ S_{T}=x^2\sqrt{2}+6x+6x\sqrt{2}\\\\ S_{T}=x\cdot(x\sqrt{2}+6+6\sqrt{2})\\\\ S_{T}=3\cdot(2-\sqrt{2})\cdot[3\cdot(2-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}+6+6\sqrt{2}]\\\\ \boxed{\boxed{S_{T}=72\cdot(\sqrt{2}-1)}}$