Inteiros a, b e c

por Dinheirow Qua 14 Ago 2013, 09:31

Encontre todos os inteiros positivos a, b e c, tais que a+b+c, ab+ac+bc e abc formam nesta ordem uma progressao aritmética

Spoiler:

por Dinheirow Sex 23 Ago 2013, 23:51

Consegui!

Suponha a≤b≤c,
Da ordenação na P.A., temos que
a+b+c +abc = 2(ab+ac+bc)
Seja f(a,b,c) = a+b+c +abc - 2(ab+ac+bc) = 0
Agora, se atribuirmos valores às variáveis podemos ver que para a=6 teremos
f(6,b,c) = 6 + b + c + 6bc -12b - 12c - 2bc = 0
f(6,b,c) =6 + b + c + 4bc -12b -12c = 0

mas
4bc - 12b -12c = 2b(c-6) + 2c(b-6) > 0, já que a≤b≤c
De modo que se a≥6, então f(a,b,c) > 0, que não satisfaz a solução, logo a ≤ 5

1)a=5:
f(5,b,c) = 3bc- 9b - 9c + 5 = 0

impossível para b,c inteiros pois 3 não divide 5

2)a=4:
f(4,b,c) = 2bc- 7b - 7c + 4 = 0
b(2c-7) - 7c = -4
(2c -7)(2b-7)=41, com 41 primo, então
b=4 e c=24
=>(a,b,c) = (4,4,24)

3)a=3:
f(3,b,c) = bc- 5b - 5c + 3 = 0
(c-5)(b-5)=22
Daqui, podemos assumir
b=6 e c=27
=>(a,b,c) = (3,6,27), ou
b=7 e c=16
=>(a,b,c) = (3,7,16)

4)a=2:
f(2,b,c) = 2 - 3b - 3c < 0
Portanto a=2 não satisfaz

5)a=1:
f(1,b,c) < 0

Portanto (a,b,c) = {(3,6,27);(3,7,16);(4,4,24)}

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