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por Blackmount Dom 06 Set 2015, 03:35

Demonstrar que para todo n inteiro e positivo, 2^(2n - 1) + 3^(2n - 1) é sempre divisível por 5.

por **Carlos Adir** Dom 06 Set 2015, 08:32

por Blackmount Sáb 12 Set 2015, 03:11

Carlos Adir, a sua solução já basta, obrigado.

Mas eu estava tentando fazer por indução e não consegui, seria possível?

por **Carlos Adir** Sáb 12 Set 2015, 08:27

$\\ \mathrm{Seja \ P(n)=2^{2n-1} + 3^{2n-1}} \\ \mathrm{Temos \ que \ P(1)=2^{2 \cdot 1 - 1} + 3^{2 \cdot 1 - 1}=5} \\ \mathrm{Ou \ seja,\ P(1) \ \'e \ multiplo \ de \ 5.} \\ \mathrm{Se\ P(n+1) \ \'e \ multiplo \ de \ 5 \ para \ todo \ n \in \mathbb{N}} \\ \mathrm{Ent\~ao \ P(n+1) \ tamb\'em \ ser\'a \ multiplo \ de 5} \\ \mathrm{P(n)=2^{2n-1}+3^{2n-1}=5k \Leftrightarrow 2^{2n-1}=5k-3^{2n-1}, \ k \in \mathbb{N}} \\ \mathrm{P(n+1)=2^{2(n+1)-1}+3^{2(n+1)-1}= 2^{2n-1} \cdot 2^{2}+3^{2n-1} \cdot 3^2} \\ \mathrm{Substituindo \ ent\~ao:} \\ \mathrm{P(n+1)=4 \left[5k-3^{2n-1} \right ]+9 \cdot 3^{2n-1}} \\ \mathrm{P(n+1)=20k+3^{2n-1}(9-4)=5\left[4k+3^{2n-1} \right ]}$
Como 4k é inteiro, e 3^(2n-1) também é inteiro, resta apenas que P(n+1) é multiplo de 5.
E portanto, P(n+1) é multiplo de 5.

Ou seja, para todo n natural positivo temos que 2^(2n-1)+3^(2n-1) sempre será multiplo de 5.

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