combinatória

Relembrando a primeira mensagem :

O gerente de uma empresa dispõe de 10 funcionários, dentre eles Carlos e Paulo. O número de comissões de 6 funcionários que poderão ser formados a partir desses 10 funcionários e  que não terão Carlos e Paulo juntos na mesma comissão

Queremos contar quantos grupos de 6 pessoas podemos formar a partir das 10 disponíveis. Dentre estas, estão Paulo e Carlos, e não queremos que eles pertençam a um mesmo grupo. Então temos três possíveis tipos de grupos:

I) Os que Carlos está, mas não Paulo
II) Os que Paulo está, mas não Carlos
III) Os que nem Paulo nem Carlos estão

I) Suponhamos que Carlos já está no grupo. A princípio, há 9 pessoas das quais devemos escolher 5 para colocaemos no grupo (pois já temos 1, Carlos). Mas dentre estas, está Paulo, que não queremos no grupo. Assim, dessas 9 pessoas que restaram, só há 8 disponíveis para colocarmos no grupo. Devemos escolher 5 das 8 pessoas disponíveis para formarmos os grupos do tipo I. Há C_{8,5} maneiras de fazer isso

II) Analogamente ao caso anterior, trocando Carlos por Paulo, encontramos C_{8,5}

III) Queremos os grupos de 6 pessoas em que nem Carlos nem Paulo estão. Então, temos 8 pessoas para escolhermos 6 para formarmos um grupo. Há C_{8,6} maneiras de fazer isto,

Assim, no total, há 2 * C_{8,5} + C_{8,6} maneiras de formarmos os grupos que não terão Paulo e Carlos num mesmo grupo