Comprimento da circunferência

por Otavinhoo Seg Jul 01 2013, 21:19

Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1. Considere um círculo C0 inscrito a ABC e, em seguida, construa um círculo C1 tangente a C0, AB e BC e outro círculo C'1 também tangente a C0, BC E AC. Continue construindo infinitos círculos Cn tangentes a Cn-1, AB e BC. Faça o mesmo para os círculos C'n também tangentes a C'n-1, BC e AC. A seguir, a figura representa um exemplo com cinco círculos.
A soma dos comprimentos dos infinitos círculos é:

Resposta: 2pi√3/3 Comprimento da circunferência P40x

por rihan Seg Jul 01 2013, 22:14

Comprimento da circunferência 0EME4Q96iCD8+f+STgcyWkjEPwAAAABJRU5ErkJggg==

1) Soma das circunferências sem linha (')

C0 = 2∏.R0
C1 = 2∏.R1
C2 = 2∏.R2
...
Cn = 2∏.Rn
------------
∑(Ck) = 2∏.∑(Rk)

∑(Rk) = R0 + R1 + R2 + ... = OB

OB/OH = sen(60°)

OB = OH. sen(60°)

OB = (1/2) . √(3)/ 2

OB = √(3)/4

∑(Ck) = 2∏.√(3)/4

∑(Ck) = ∏.√(3)/2

2) Soma das circunferências com linha (')

C'1 = 2∏.R'1
C'2 = 2∏.R'2
...
C'n = 2∏.R'n
------------
∑(C'i) = 2∏.∑(R'i)

∑(R'i) = OB - R0

R0 = tg(30°).BH

R0 = √(3)/3 .(1/2) = √(3)/6

∑(R'i) = OB - R0 = √(3)/4 - √(3)/6 = √(3)/12

∑(C'i) = 2∏.∑(R'i) = 2∏.√(3)/12 = ∏.√(3)/6

3) RESPOSTA = ∑(Ck) + ∑(C'i)

RESPOSTA = ∏.√(3)/2 + ∏.√(3)/6

RESPOSTA = (3∏.√(3) + ∏.√(3))/6 = 4∏.√(3)/6

RESPOSTA = 2∏.√(3)/3 ■

por **Euclides** Seg Jul 01 2013, 22:21

Os raios de cada circunferência são termos de uma PG decrescente de razão 1/3 em função da altura do triângulo

h/3, h/9, h/27, ..., h/3ⁿ

os comprimentos são somados como (considerando duas sequências de círculos à esquerda e à direita da base do triângulo):

$\\\sum L=2\pi h\left (\frac{1/9}{1-1/3} \right )\times 2+\frac{2\pi\sqrt{3}}{6}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h=\sqrt{1^2-\frac{1}{2^2}}\;\to\;h=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\ \sum L=2\sqrt{3}\pi\cdot\frac{1}{6}+\frac{2\pi\sqrt{3}}{6}\;\;\to\;\;\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$

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