Primitivas
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por Luciana Bittencourt Qui 30 maio 2013, 11:03
Determine uma função y = f (x), definida num intervalo aberto I, com 1 ∈ I, tal que f (x) = 1 e, para todo x em I, dy/dx = xy.
Resolvendo:
Para todo x em I, f ' (x) = x f (x). Como f deve ser derivável em I, f também deve ser contínua em I. A condição f (1) = 1 e o teorema da conservação do sinal garantem que para x próximo de I f (x) > 0. Então f ' (x) / f (x) = x, x ∈ I.
E [ ln f (x) ] ' = f ' (x) / f (x)
e [ x²/2 ] ' = x
então [ ln f (x) ] ' = [ x²/2 ] ' para todo x em I.
Então existe uma constante k tal que
ln f (x) = x²/2 + k
De f (1) = 1 tem-se ln 1 = 1/2 + k
e assim, k= -1/2.
Então a função
, x ∈ R.
Só que não consigo ver qual é a função y...
Resolvendo:
Para todo x em I, f ' (x) = x f (x). Como f deve ser derivável em I, f também deve ser contínua em I. A condição f (1) = 1 e o teorema da conservação do sinal garantem que para x próximo de I f (x) > 0. Então f ' (x) / f (x) = x, x ∈ I.
E [ ln f (x) ] ' = f ' (x) / f (x)
e [ x²/2 ] ' = x
então [ ln f (x) ] ' = [ x²/2 ] ' para todo x em I.
Então existe uma constante k tal que
ln f (x) = x²/2 + k
De f (1) = 1 tem-se ln 1 = 1/2 + k
e assim, k= -1/2.
Então a função
Só que não consigo ver qual é a função y...
Luciana Bittencourt- Recebeu o sabre de luz
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