Círculos num Quadrado

Mostrar que a relação entre os raios dos círculos C1 e C1é igual a 3/2, sabendo que eles estão inscritos num quadrado de lado "a".
Alguém pode me ajudar nesse exercício?

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up!

Balanar

Suas contruições são sempre bem-vindas, tanto postando dúvidas como resolvendo dúvidas de outros usuários.
Entretanto em dois problemas você complicou a situação e vou dizer o motivo:

Quando uma dúvida não teve resposta a situação do tópico aparece como 0
Quando alguém dá a sua contribuição (conseguindo ou não resolver) o tópico mostra 1, 2, 3 ..... etc

Normalmente quando eu vejo 0 eu entro no tópico para tentar ajudar.
Por falta de tempo, quando eu vejo 1, imagino que alguém já resolveu e nem me preocupo em entrar.
Imagino que outros "resolvedores" façam o mesmo.

Neste problema (e em pelo menos mais um) de outros usuários você mandou uma mensagem pedindo ajuda, ao invés de tentar resolver.

Assim fazendo você deve ter levado outros resolvedores (além de mim) a se enganarem pensando que o problema já estava resolvido.

Por sorte o Luis Eduardo percebeu e deu um "up" chamando atenção para a falha (eu já tinha passado batido).

Solicito portanto um favor: só responda alguma dúvida de alguém se tiver alguma contribuição a dar (e nunca dizendo que a dúvida também é sua).

Elcio

PS. Acho que já resolví este, porém agora vou acompanhar a apuração das eleições.
......Postarei minha solução mais tarde.

Grande Elcioschin, não cometerei o mesmo erro outra vez.

a) Sejam A, B, C, D os vértices do quadrado (sendo A o vértice superior direito e B o inferior direito)
b) Sejam R e r os raios desconhecidos dos círculos c1 e c2
c) Sejam M, N e P os centros do semi-círculo, círculo c1 e círculo c2.
d) Seja E o ponto de tangência de c1 com o semicírculo
e) Seja F o ponto de encontro lado CD com a reta que parte de A e S do lado AB com a outra reta.
f) Seja Q o ponto d encontro das duas retas

Vamos tratar primeiro do círculo c1. Para isto:

1) Apaguemos c2 e a reta que encontra AB.
2) Tracemos a reta AM

O círculo c1 é o círculo inscrito no triângulo retângulo ADE. Não vou provar aqui, mas é facilmente demonstrável que, sendo a a hipotenusa e b, c os catetos R = (b + c - a)/2 isto é:

R = (AD + DE - AF)/2 ----> Basta então calcularmos AF e DF, já que, pelo enunciado AD = a

Pela figura temos:
BM = a/2
AE = AB = a (tangentes ao semi-círculo tiradas do ponto externo A.

Logo BÂM = EÂM = x

tgx = BM/AB ----> tgx = (a/2)/a ---> tgx = 1/2 ----> senx = \/5/5 ----> cosx = 2*\/5/5

BÂE = 2x ----> tgBÂE = tg2x ---> tg2x = 2*tgx/(1 - tg²x) ----> tg2x = 4/3

DÂF = 90º - 2x ----> tgDÂF = tg(90º - 2x) ----> tgDAF = 1/tg(2x) ----> tgDÂF = 3/4

tgDÂF = DF/AD ----> 3/4 = DF/a ----> DF = 3a/4

AF² = AD² + DF² ----> AF² = a² + (3a/4)² ----> AF² = 25a²/16 ----> AF = 5a/4

Cálculo de R ----> R = (3a/4 + a - 5a/4)/2 -----> R = a/4

Vamos agora calcular r. Para isto:

1) Apague o círculo c1 e areta AF
2) Trace o raio do círculo c2 perpendicular a a AB no ponto de tangência T.

Pela figura e pelos ângulos anteriores ----> PT = r ----> AT = 2r

Por relação de triângulos consegue-se provar que TS = QA = 3r, QS = 4r, AS = 5r e SB = r

AT + TS + SB = AB -----> 2r + 3r + r = a ----> 6r = a ----> r = a/6


R/r = (a/4)/(a/6) ----> R/r = 3/2