[DUVIDA] Questão de Derivada.

por Jefferson_mcz Qui 16 maio 2013, 23:32

O numero de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no ínicio, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função:n=f(t)= [tex]\frac{a}{1+b{e}^{-0,7t}}[/tex], em que t é medido em horas. No instante t=0 a população é de 20 células e está crecendo a uma taxa de 12 células por hora. Encontre os valores de a e b. De acordo com esse modelo, o que ocorre com a população de levedura depois de muito tempo ?

por **parofi** Sáb 18 maio 2013, 14:53

Olá:
A função é f(t)=a/(1+b.e^(-0,7t))?
Se for assim, temos. f(0)=20⇔a/(1+b.e^0)=20⇔ a/(1+b)=20⇔a=20+20b;
f'(t)=(0-a*b(-0,7)e^(-0,7t))/(1+be^(-0,7t))^2=(0,7abe^(-0,7t))/(1+be^(-0,7t))^2. Então. f'(0)=12⇔(0,7abe^0)/(1+be^0)^2=12⇔
⇔0,7ab/(1+b)^2=12. Vem então, 0,7(20+20b)b/(1+b)^2=12⇔
⇔14b+14b^2=12(1+2b+b^2)⇔2b^2-10b-12=0⇔b^2-5b-6=0, donde vem, b=6 ou b=-1. Se b=6, a=140. Se b=-1, vem a=0, o que é impossível(viria f(t)=0). Após muito tempo:
lim (t->+∞)f(t)=a/1=140 células.