Relações Métricas - dúvida

Considerando as medidas indicadas na figura abaixo e sabendo que o círculo está inscrito no triângulo e O é o seu centro, determine x.

X=9

Oi, Raimundo!

Muito obrigado por responder! Se não der muito trabalho, tem como indicar como você começou a fazer, para eu ter uma ideia?

Mais uma vez, obrigado!

Att

Dá próxima vez agradecemos colocar o gabarito.

Raimundo

Esta resolução só valeria se o trângulo BAC fosse retângulo em A.
Entretanto, o enunciado não diz que BAC é retângulo

Ah, desculpe. O gabarito é 15. Não coloquei porque o exercício veio de uma apostila e, por isso, às vezes pode estar errado (como já aconteceu em alguns exercícios que fiz outras vezes). Até tentei procurar no vestibular de onde veio (UFOP), mas não consegui achar.

E de fato não fala que é retângulo. Mas eu acho que consegui fazer o exercício. Se só puderem confirmar se não errei nada, porque fiquei na dúvida. Vejam:



Peguei o triângulo OBP, tendo como altura "r". Assim, a altura ao quadrado é igual ao produto das suas projeções. Logo:

r²=6.1
r=raiz de 6

A partir daí, apliquei pitágoras no triângulo retângulo AOQ e descobri que o lado AO mede raiz de 15.

Depois, com relações trigonométricas nesse mesmo triângulo, descobri o seno de teta e o cosseno. Através de arco duplo, descobri quanto vale o cosseno de 2 teta. A partir daí foi só aplicar lei dos cossenos no triângulo maior.

Descobri que a resposta é 18, diferente do gabarito que mencionei acima. Por isso, se alguém pudesse confirmar ou falar se o que eu errei, eu agradeceria (:

só é válido para a altura relativa à hipotenusa em triângulos retângulos.

Ah é ):

De qualquer forma, eu confirmei em outros lugares e o gabarito é 15 mesmo. Se alguém tiver uma ideia...

alguém conseguiu responder essa questão?

resposta a partir do teorema da bissetriz interna.
A retaque sai do vértice passa pelo centro do triangulo inscrito, logo, pelo incentro, sendo assim, é uma bissetriz.
Dessa forma, (3+x)/y = 9 / 7

7x + 21 = 9y (I)

sabe-se ainda que x = y + 1 --> y = x -1

assim,
7x + 21 = 9x -9 ---> X = 15