ITA complexos

por mhcaf Seg 29 Abr 2013, 23:08

(ITA)Considere o número complexo z = a + 2i cujo argumento está no intervalo (0,pi/2).Sendo S o conjunto dos valores de a para os quais z^6 é um número real, podemos afirmar que o produto dos elementos de S vale:

Resp:4

por **LPavaNNN** Ter 30 Abr 2013, 09:04

De início, considerei os valores theta=0, e theta=pi/2 porém,Achei o resultado excluindo essa possibilidade.

Veja porque :

$|z|^6.cis(6\theta)=Re\\cis(6\theta)=Re\\6\theta=k.\pi\\\theta=\frac{k.\pi}{6} \\se\\k=3\\\theta=\frac{\pi}{2}\\z=|z|.cis\frac{\pi}{2}$

$a+2i=\sqrt{a^2+4}(i)\\a^2+4ai-4=-1(a^2+4)\\4a=0\\a=0$

ou seja, qualquer produto usando esse valor de a resultaria 0.

fazendo agora então, como achado antes temos :

$\theta=\frac{k.\pi}{6}(k=1,2)\\\theta_1=\frac{\pi}{6}\\\theta_2=\frac{\pi}{3}\\z=|z|.cis\frac{\pi}{6}\\a+2i=\sqrt{a^2+4}(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2})\\a^2+4ai-4=(a^2+4)(\frac{2+2\sqrt3i}{4})$

$a^2+4ai-4=\frac{2a^2+2\sqrt3a^2i+8+8\sqrt3i}{4}\\4a^2-16=2a^2+8\\a_1=2\sqrt3\\\\a+2i=\sqrt{a^2+4}cis\frac{\pi}{3}\\a^2+4ai-4=(a^2+4)(\frac{1}{2}+i.\frac{\sqrt3}{2})^2\\a^2+4ai-4=(a^2+4)(\frac{2\sqrt3i-2}{4})$

$a^2+4ai-4=\frac{-2a^2+2\sqrt3a^2i+8\sqrt3i-8}{4}\\4a^2-16=-2a^2-8\\a_2=\frac{2}{\sqrt3}\\a_1.a_2=2\sqrt3.\frac{2}{\sqrt3}=4$

por Luck Ter 30 Abr 2013, 13:18

Tinha tb um jeito mais rápido de ver isso: z = |z|(cisθ)
z^6 = |z|^6(cos6θ + isen6θ) , z^6 é real se sen(6θ) = 0 , 6θ = kpi, como θ ∈ (0,pi/2) ( lembrando que o intervalo dado exclui θ = 0 e θ = pi/2 ), θ { pi/6,pi/3} ; tgθ = b/a --> tgθ = 2/a , tgθ =√3/3 e tgθ = √3 ,que so ocorre se a = 2√3 , e a = 2/√3.