Calcular cada um dos seguintes limites

por Luis Silva Dom 28 Abr 2013, 13:21

Não estou a conseguir resolver ,nas minhas soluções o problema 3 é zero,e no problema 4 é +∞. Very Happy

por **Jader** Dom 28 Abr 2013, 13:42

Vamos la, começando pelo exercício 3:

$\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x-3}-\sqrt{x+1}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{x-3}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x-3}+\sqrt{x+1})}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x+1}}$

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x-3-x+1}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x+1}}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-2}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x+1}}=\frac{-2}{\infty}=0$

Agora vamos ao exercício 4:

$\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{2x+1}-\sqrt{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}}$

$=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x+1-x}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x+1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}}$

Agora vamos dividir o numerador e o denominador por x ai temos,

$=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x+1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}$

Note que x ao entrar na raíz fica x²... continuando:

Como o denominador dar um número muito próximo de zero e o numerador se aproxima de 1, então tem-se que o limite tende ao infinito, portanto:

$=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}=+\infty$

Um abraço.

por Luis Silva Dom 28 Abr 2013, 14:16

Obrigado Jader,mas tenho duvidas nos 2 problemas,no primeiro porque fica (x-3-x+1) , também pode ficar (x-3+x-1) ,e o limite que você uso foi (+∞)?
No segundo problema a mesma duvida porque de (2x+1-x), em vez de (2x+1+x) ,outra duvida (x+1) ou (+∞+1)=+∞? Very Happy

por **Jader** Dom 28 Abr 2013, 14:37

Assim, $(\sqrt{x-3}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x-3}+\sqrt{x+1})=x-3-(x+1)=x-3-x-1=4$ * Confundi la no limite 3 mais da o mesmo resultado.

Porque esse resultado? Pois isso é a diferênça de 2 quadrados, observe:

a² - b² = (a - b).(a + b)

E o limite foi calculado com x tendendo a +infinito mesmo, e se você substituir o x por infinito vai ter a raíz de infinito + raíz de infinito que da 2 números muito grande, ou seja infinito, logo se você divide o -4 por um número muito grande ele vai tender a zero, portanto esse será o resultado desse primeiro limite.

No segundo é o mesmo raciocínio do primeiro: a² - b² = (a - b).(a + b)

E se você seguir o mesmo raciocínio do primeiro problema você vai chegar a uma função mais reduzida que dará o mesmo efeito e após tirar a indeterminação você substitui o x por +infinito e você achará um número muito pequeno que no caso é o 1 sobre um número muito muito pequeno, portanto o resultado dará um número muito grande que no caso será +infinito.

Porque +infinito e não - infinito, porque você tem uma divisão de 2 números positivos portanto o quociente será positivo.

Espero ter tirado a dúvida, caso não avise para eu tentar explicar melhor.