Numa urna...

Numa urna são depositadas n etiquetas numeradas de 1 a n. Três etiquetas são sorteadas (sem reposição). Qual a probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos.

Resposta:(n-2)!.3!/n!

Sorteio de 3 etiquetas -> Cn,3

Temos que ter os números x, x + 1 e x + 2

Imagine os n números ordenados. O primeiro, segundo e terceiro números formam um conjunto de três números; O segundo, o terceiro e o quarto também; o terceiro, o quarto e o quinto também e assim sucessivamente.

Perceba que o primeiro conjunto começa em 1, o segundo começa em 2, o terceiro começa em 3. Em tese, teríamos n conjuntos. Mas os dois últimos números não iniciam um conjunto(porque seriam necessários 3 números, não 2). Então temos n - 2 conjuntos possíveis de números consecutivos.

Exemplo:
Se os números forem: 1, 2, 3, 4, 5

Podemos ter:
1) 1 2 3 - Primeiro conjunto inicia por 1
2) 2 3 4 - Segundo conjunto inicia por 2
3) 3 4 5 - Terceiro conjunto inicia por 3
4) 4 5 (Não tem como mais. Os dois últimos números não iniciam conjuntos).


(n - 2)/Cn,3 = 6/(n² - n)

Se calculássemos o espaço amostral por arranjo em vez de combinação, como ficaria?

Por que #Ω é C(n,3)?Ao contar as possibilidades dessa forma se excluem várias possibilidades (como tirar na urna as bolinhas 3,2,1 e 1,2,3, que são eventos distintos e de igual probabilidade)

Olá, Radium. É irrelevante. Como a retirada é sem reposição, podemos imaginar as bolas sendo retiradas simultaneamente.

Caso você resolva trabalhar com arranjo, tanto o espaço amostral quanto os casos favoráveis mudam, mas o resultado é o mesmo.

Pode postar como fica a resolução usando arranjo? Não estou conseguindo, chego em 1/(n²-n)

Não consigo de forma nenhuma visualizar o (n-2) conjuntos (já vi alguns soluções e mesmo assim não consigo ver o porque), alguém poderia por favor da uma luz ? Agradeço.

Veja o exemplo dado

1, 2, 3, 4 5 ---> n = 5

Começando pela esquerda: somente 1, 2, 3 conseguem iniciar um trio:

1-2-3, 2-3-4 e 3-4-5 ---> (n - 2) casos favoráveis (não pode começar por 4 e 5)

Na minha opinião, o gabarito está dúbio ou a banca queria criar uma "pegadinha". Para o gabarito ser "6/n(n-1)", significa que 1,2,3 = 1,3,2 = 2,1,3 = 2,3,1 = 3,1,2 = 3,2,1. Isto é, o  números têm que ser consecutivos, mas não na mesma ordem da n, n+1, n+2. Realmente o enunciado não fala que tem que estar na ordem, mas é comumente adotado na matemática que quando se fala em números consecutivos, deve-se considerar a ordem. Inicialmente eu fiz como Arranjo, onde 1,2,3 é diferente de 3,2,1 e sim, a resposta é "1/n(n-1)".
@Elcioschin  @radium226  @febaemanuel12