Queria entender a diferença!

1° Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox e Oy. Ele pode dar um passo de cada vez, para o norte ou para leste. quantas trajetórias ele pode percorrer, se der exatamente 4 passos?

P4 = 2.2.2.2= 16
Resposta: 16

2° Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte ou para leste. Quantas trajetórias (caminhos) existem da origem ao ponto P(7,5)?

12!/7!5!
Resposta: 792

Porque o 1° é permutação simples e o 2° permutação com repetição?

No 1º ele NÃO tem um destino certo. Por exemplo:

a) Ele poderia dar 4 passos pala o leste e parar
b) Ele poderia dar 4 passos para o norte e parar
c) Ou qualquer um dos outros 14 caminhos

No 2º ele TEM um destino certo: o ponto P(7, 5)

Se você fizer 2^12,= 4096, muitos dos caminhos não chegarão no ponto P