Probabilidade (3)

Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada?

Gabarito: [(b-1).(b-1)!]/2.b^(b-2)

Eu vi em um fórum que o gabarito dessa questão está errado e deveria ser esse:

[latex]\frac{\frac{b!}{2!(b-2)!}*2}{(b+b-1)!/b!(b-1)!)} = \frac{b^{2}(b-1)!(b-1)!(b-1)}{(2b-1)}[/latex]



Eu fiz assim. Excluindo uma urna, temos:
1ª bola ---> (b-1) urnas
2ª bola ---> (b-2) urnas
.
.
.
(b-1)ª bola ---> 1 urna
bª bola ---> (b-1) urnas (isso porque cada outra urna já tem sua bolinha, assim, essa última bolinha pode ir pra qualquer uma das b-1 urnas)

Logo, a distribuição desejada é: (b-1)(b-1)! (I)

O total de distribuições possíveis eu fiz através dessa equação:
x1 + x2 + x3 + ... + xb = b
Em que cada xi representa a quantidade de bolas em uma urna i

Assim, o número de soluções deve ser [latex]\binom{2b - 1}{b-1} = \frac{(2b-1)!}{(b-1)!b!}[/latex] (II)
Dividindo (I) por (II)

[latex]\frac{(b-1)(b-1)!(b-1)!b!}{(2b-1)!}[/latex]

Mas minha resposta não bate com a resposta que vi :/

Vamos conferir as fórmulas

Para b = 2 existem 3 possibilidades: (0, 2), (1, 1), (2, 0) ---> p = 2/3

Para b = 3 existem 10 possibilidades:

(0, 0, 3), (0, 1, 2), (0, 2, 1), (0, 3, 0), 
(1, 0, 2), (1, 1, 1), (1, 2, 0), 
(2, 0, 1), (2, 1, 0), 
(3, 0, 0)

p = 6/10 ---> p = 3/5

Testando a sua fórmula:

b = 2 ---> (2 - 1).(2 - 1)!.(2 - 1)!.2!/(2.2 - 1)! = 1/3 ---> Falso

b = 3 ---> (3 - 1).(3 - 1)!.(3 - 1)!.3!/(2.3 - 1)! = 2/5 ---> Falso

Teste a fórmula original postada e a que vc viu em outro fórum.

Olá,

"O total de distribuições possíveis eu fiz através dessa equação:
x1 + x2 + x3 + ... + xb = b"

Você está considerando que as bolas são iguais, o enunciado não garante isso.