Área mínima de figuras

Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um dos quais será torcido de modo a formar um quadrado e o outro, a formar uma circunferência. De que modo deverá ser cortado para que a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras seja mínima?



Resposta: e

Olá, boa tarde!

O problema diz que o arame tem 10cm, logo: (sendo o lado do quadrado e o raio da circunferência).

Por outro lado, --> ( deve ser mínimo)

Da primeira equação, . Substituindo o valor de na outra equação, temos:



O ponto critico da função (correspondente ao mínimo ) pode ser encontrado derivando-se em função de e igualando-se a zero.

dA/dr = 2pi.r - 1/4.pi (10-2.pi.r)

Igualando a zero,

Para o quadrado:

Para a circunferencia:

Acho que é isso mesmo

Pietro di Bernadone escreveu:

O ponto critico da função (correspondente ao mínimo ) pode ser encontrado derivando-se em função de e igualando-se a zero.

dA/dr = 2pi.r - 1/4.pi (10-2.pi.r)

Igualando a zero,

Para o quadrado:

Para a circunferencia:

Acho que é isso mesmo

Não entendi a partir daqui.

Luciana, esse é o valor de A:

Vou explicar de maneira detalhada. Acompanhe:

Resolvendo, A = (100 - 40pi.r + 4pi².r²)/16 +pi.r² (Aqui eu apenas resolvi o parêntese e somei com o que está depois do parentese). Ok?

Agora vou derivar A(r) em função de r. Veja:

dA/dr = (-40pi + 8pi².r)/16 + 2pi.r

Repare que em função de r, o 100 do numerador é constante. Logo, sumiu.. No -40pi.r, em função de r, fica -40pi(1) = -40pi

Agora no 4pi².r², em função de r, o expoente 2 do r² vai para o lado de fora e multiplica o restante. Acompanhe: 2(4pi²r), resolvendo 8pi²r.

Chegamos então em: (-40pi + 8 pi²r)/16 + 2pir = 0

Atribua o valor de 3,14 para pi e resolva a equação acima.. Encontrarás r = 0,7cm.

Qualquer dúvida estou a diposição

Pietro

Entendi o processo, mas tenho uma dúvida: o que é derivar?

Seja x o pedaço para formar o quadrado e (10 - x) o pedaço para formar a circunferência

Lado do quadrado ----> L = x/4----> Área do quadrado = L² = x²/16

Raio da circunferência ----> 2pi.r = 10 - x ----> r = (10 - x)/2pi ----> Área da circunferência = pi.r² = pi.(10 - x)²/4pi² = (10 - x)²/4pi

Área total = y ----> y = x²/16 + (x² - 20x + 100)/4pi ----> y = [(pi + 4)/16pi].x² - (5/pi).x + 25/pi

Esta função do 2º grau é uma parábola com concavidade para cima (a > 0).
O valor máximo desta função ocorre no vértice da prábola V(xV, yV)

xV = - b/2a ----> xV = - (-5/pi)/2.[(pi + 4)/16pi] ----> xV = 40/(pi + 4)

O outro pedaço vale 10 - xV = 10 - 40/(pi + 4) = 10pi/(pi + 4)

Obrigada Élcio!